8. Дополнительные точки

f(-1)=

f(3)=

9) Построим график функции. Для этого сначала на координатной плоскости отметим точки максимума и минимума, дополнительные точки, точки перегиба, а затем построим график.

Литература:

[1] стр. 183-187, 191-192,196-198, [2] стр. 182-187, [3] стр. 220-236, [4] стр. 255-268, [5] стр. 87-91

1.5 Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва второго рода функции или на границе области допустимых значений аргумента.

Если или или , то х=а - вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты:

Если , то y=b - горизонтальная асимптота (b – конечное число).

Наклонные асимптоты:

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой, если

Схема исследования функции

1. Найдите область определения функции.

2. Исследуйте функцию на непрерывность, найдите точки разрыва и вертикальные асимптоты.

3. Определите четность, нечетность функции.

4. Найдите производную функции.

5. Определите стационарные и критические точки производной.

6. Определите промежутки монотонности и экстремумы функции.

7. Найдите значения функции в стационарных и критических точках.

8. Найдите вторую производную и исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость.

9. Исследуйте поведение функции при . Найдите наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

10. Для построения графика найдите необходимые дополнительные точки.

Пример 5.

Исследуйте функцию и постройте график f(x)=

1. т.к. при х=0 знаменатель обращается в ноль.

2. Точка разрыва х=0 – точка разрыва второго рода, т. к.

,

х=0 – вертикальная асимптота

3. f(-x)= – функция общего вида, т.к. f(-x)≠ f(x)

f(-x)≠ f(-x)

4. =

5. =0, х³-8=0

х=2 – стационарная точка,

не существует при х=0,

х=0 - критическая точка.

6. -

   -

   +

7. min

8. х=2 точка минимума

f(0)= ; f (2)=

9. 

=0 не может быть,

- не существует при х=0

+

+

> 0

› 0

10. Наклонные асимптоты:

у=х – наклонная асимптота

11. Горизонтальные асимптоты:

горизонтальных асимптот нет

12. Дополнительные точки

f(-1)=

f(1)=

f(3)=

12) Построим график функции. Для этого сначала на координатной плоскости отметим точку минимума, дополнительные точки, проведём асимптоты, а затем построим график.

Литература:

[1] стр. 194-198, [3] стр. 231-236, [5] стр. 146-151

6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Найти производную функции.

2. Определить стационарные точки функции.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку.

4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения и записать ответ.

Пример 6

Найдите наименьшее и наибольшие значения функции у=х³-3х²-45х+1 на отрезке .

Решение

Воспользуемся алгоритмом:

1. Имеем .

2. Производная существует при всех х, значит, стационарные точки находим из условия

3. отрезку принадлежит лишь одна стационарная точка, х₂=5, поэтому:

у(0)=1

у(6)= -161

у(5)= -174

4. таким образом, на отрезке у_наиб=у(0)=1, y_наим=у(5)= -174.

Ответ: на отрезке у_наиб=у(0)=1, y_наим=у(5)= -174.

Литература:

[1] стр. 187-188, [2] стр. 195-205, 209-211, [3] стр. 236-267, [4] стр. 268-270, 274 -286, [5] стр. 140-146