5.5 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Линейная регрессия

В различных исследованиях приходится использовать формулы, составленные на основании эксперимента. Одним из лучших способов получения таких формул является метод наименьших квадратов. Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами х и у. Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. Если предполагают, что между х и у существует линейная зависимость, то искомую формулу находят так:

1. Вычисляют М_х, М_ху, М_у, М_х² :

2. Составляют систему уравнений:

3. Находят из полученной системы а₀ и а_1.

4. Записать уравнение линейной регрессии .

(х)=а₀+а₁х

Пример 86.

Результаты пяти измерений некоторой величины У, зависящей от величины Х, приведены в таблице:

xi	-2	-1	0	2	3
yi	3	4	6	7	9

Построить прямую линию регрессии.

Решение:

1 ) Вычислим М_х, М_ху, М_у, М_х². Это удобно сделать в Microsoft Excel или просто с помощью калькулятора.

Столбцы <xi*yi> (D) и <xi^2> (E) заполняются с использованием автозаполнения. Строчки <сумма> и <сумма/n> заполняются с использованием автосуммирования.

	xi	yi	xi*yi	xi^2
	-2	3	-6	4
	-1	4	-4	1
	0	6	0	0
	2	7	14	4
	3	9	27	9
cумма	2	29	31	18
сумма/n	0,4	5,8	6,2	3,6
	Mx	My	Mxy	Mx^2

2) Составим систему уравнений .

3) Найдём из полученной системы а₀ и а₁

4) Запишем уравнение линейной регрессии , а₀5,35, а₁1,13

5,35+1,13х=у

Литература:

[2] стр. 546-549, [3] стр. 391-394, [5] стр. 304-306, [7] стр. 98-103

Задачи для контрольной работы

Значения m и n выбираются в соответствии с порядковым номером в алфавитном списке (например 24: m=3 и p=6)

е диницы десятки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	m=1 p=1	m=2 p=1	m=3 p=3	m=3 p=4	m=4 p=7	m=6 p=7	m=8 p=1	m=9 p=8	m=7 p=5	m=9 p=9
1	m=5 p=8	m=1 p=2	m=2 p=2	m=3 p=5	m=4 p=8	m=7 p=1	m=6 p=8	m=8 p=2	m=10 p=7	m=10 p=8
2	m=9 p=3	m=5 p=9	m=1 p=3	m=2 p=3	m=3 p=6	m=4 p=9	m=7 p=2	m=6 p=9	m=8 p=3	m=8 p=4
3	m=9 p=10	m=9 p=4	m=5 p=10	m=1 p=4	m=2 p=4	m=3 p=7	m=4 p=10	m=7 p=3	m=6 p=10	m=10 p=10
4	m=9 p=5	m=9 p=6	m=9 p=7	m=6 p=1	m=1 p=5	m=2 p=5	m=3 p=8	m=5 p=1	m=7 p=4	m=10 p=9
5	m=10 p=1	m=10 p=2	m=8 p=5	m=10 p=3	m=6 p=2	m=1 p=6	m=2 p=6	m=3 p=9	m=5 p=2	m=5 p=3
6	m=7 p=6	m=7 p=7	m=7 p=8	m=8 p=6	m=10 p=6	m=6 p=3	m=1 p=7	m=2 p=7	m=3 p=10	m=5 p=4
7	m=4 p=2	m=5 p=5	m=10 p=4	m=7 p=9	m=8 p=7	m=8 p=8	m=6 p=4	m=1 p=8	m=2 p=8	m=4 p=1
8	m=3 p=2	m=4 p=3	m=5 p=6	m=10 p=5	m=7 p=10	m=8 p=9	m=9 p=2	m=6 p=5	m=1 p=9	m=2 p=9
9	m=2 p=10	m=3 p=1	m=4 p=4	m=4 p=5	m=4 p=6	m=5 p=7	m=8 p=10	m=9 p=1	m=6 p=6	m=1 p=10

1) Найдите производные функций:

а) ;

б)

в) ;

г) .

2) Тело движется прямолинейно по закону , где S – путь (м), t- время (с). Найти скорость и ускорение тела в момент времени t=0с.

3) Составьте уравнение касательной к графику функции f(х)=х³+pх²-mx+p в точке с абсциссой х₀= -p.

4) Исследуйте функцию и постройте график а) f(x)=

б) f(x)=

11) Найдите наименьшее и наибольшие значения функции у=2х²+(2p-m)х-mp на отрезке .