3.5 Использование рядов для приближённых вычислений

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.

Пример 61.

Вычислить e^0,1 с точностью до 0,001.

Решение:

Для функции e^x формула Тейлора имеет вид: e^x=1+x+ +…

При x=0,1 получаем знакоположительный числовой ряд. Необходимо взять только те члены ряда, которые больше 0,001

При x=0,1 получаем

e^0,1≈1+0,1+ ≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,105.

Так как 0,0002<0,001, то достаточно взять три члена ряда.

Ответ : e^0,1≈1,105.

Пример 62. 

Вычислить ln 1,1 с точностью до 0,0001.

Решение.

Используем разложение функции ln (1 + x) в степенной ряд, полагая х = 0,1. Получаем ряд для вычисления ln 1,1:

 .

Абсолютное значение четвертого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося ряда, члены которого убывают по абсолютной величине (признак Лейбница), для вычисления приближенного значения ln 1,1 с точностью 0,0001 достаточно взять сумму трех первых членов ряда. Имеем

  .

Ответ : ln1,1 ≈0,0953

Глава 4 . Элементы дискретной математики.

1. Элементы теории множеств.

Определение. Под множеством понимается совокупность некоторых

объектов, которые будут называться элементами множества.

Пример. 1). Множество целых чисел;

2). Буквы русского алфавита;

3). Множество людей, проживающих в данном доме.

Обозначение. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D…; элементы множества – a, b, c, d….

Для указания того факта, что элемент принадлежит данному множеству, используется знак :

- элемент а принадлежит множеству А;

- элемент а не принадлежит множеству А.

4.1.1 Способы заданий множеств.

1. Перечисление элементов.

N= {1, 2, 3, 4 …}.

Фигурные скобки {…} указывают на наличие множества.

2. Указание характеристического свойства, которым обладают элементы данного множества.

A= {x | x²-5x+6= 0} – множество корней данного уравнения;

[a; b)= {x R | a≤ x <b} – интервал.

Знак | заменяет слова «таких, что» или «такое, что».

Пример 63.

Задать множество перечислением его элементов.

A= {x | x+1 = }.

Решение:

x +1 =

ОДЗ: x +7 ≥0

x ≥-7

x [-7; ).

(x +1) ² = ( ) ²

x ²+2x+1 = x+7

x ²+x-6 = 0

x₁= 2, x₂= -3.

Ответ: A= {2; -3}.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если

каждый элемент множества В одновременно является

и элементом множества А.

Обозначение: - «В содержится в А» или «В подмножество множества

А».