3. Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Гільберта — система аксіом евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як більш повна, ніж система аксіом Евкліда. Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені памятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу.

3.1. Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Евкліда є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

• Лежати між (стосується точок);

• Належати (стосовно точок і прямих, точок і площини, прямих і площини);

• Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

3.2. Аксіоми

3.2.1 Аксіоми належності

• планіметричні:

  1. Якими б не були точки А та В, існує пряма α, якій належать ці точки.

  2. Якими б не були дві різні точки А та В, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.

  3. Кожній прямій α належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.

• стереометричні:

  1. Якими б не були три точки А, В та С, що не належать одній прямій, існує площина α, якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.

  2. Якими б не були три точки А, В та С, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.

  3. Якщо дві різні точки А та В, що належать одній прямій l, належать деякій площині α, то кожна точка, що належить прямій l, належить вказаній площині.

4. Якщо існує одна точка А, яка належить двом площинам α та β, то існує принаймні ще одна точка В, яка належить обом цим площинам.

5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

3.2.2. Аксіоми порядку

1. Якщо точка В прямої α лежать між точками А та С, то А, В та С — різні точки прямої, при чому В лежить також між точками С та А.

2. Для довільних двох різних точок А та С, на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка В, що лежить між точками А та С, та існує принаймні одна точка D, така що точка С лежить між точками А та D.

3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує не більше однієї точки, яка лежить між двома іншими.

4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник АВС і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону АВ, то ця пряма неодмінно перетне одну з двох інших сторін АС чи ВС.

3.2.3. Аксіоми конгруентності

1. Якщо А та В — дві точка прямої l, А' — точка на цій же прямій чи на іншій прямій l', то по задану від точки А' сторону прямої l' знайдеться, і до при цьому лише одна, точка В', така що відрізок А'В' конгруентний відрізку АВ. Кожен відрізок АВ конгруентний відрізку ВА. 

2. Якщо відрізки А'В' та А"В" конгруентні одному і тому ж відрізку АВ, то вони конгруентні між собою.

3. Нехай АВ та ВС — два відрізки прямої α, які не мають спільних внутрішніх точок, А'B’ и B'C’ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої α', які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок АВ конгруентний відрізку А'B’, а відрізок ВС конгруентний відрізку B'C’, то відрізок АС конгруентний відрізку А'C’.

4. Якщо дано кут ∠ABC та промінь B'C', що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені B'D та B'E, які також лежать в площині даного кута, такі, що ∠DB'C' конгруентний ∠ABC та ∠EB'C' конгруентний ∠ABC. 

5. Якщо для двох трикутників ABC та A'B'C' мають місце конгруенції: AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', ∠BAC ≅ ∠B'A'C', то завжди мають місце й конгруенції: ∠ABC ≅ ∠A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.

3.2.4. Аксіома паралельності

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

1. Нехай α — довільна пряма і A — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою А й прямою α, можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через A і не перетинає α.

3.2.5. Аксіоми неперервності

1. Аксіома Архімеда. Нехай А₁ — довільна точка на прямій між довільними точками А та В. Побудуємо точки А₂, А₃, А₄, … так, що точка А₁ знаходиться між точками А та А₂, А₂ між А₁ та А₃, А₃ між А₂ та А₄ і т. д., при цьому відрізки АА₁, А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, . . . рівні між собою. Тоді зажди існує така точка А_n, що точка В лежить між А та А_n.

2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена A, B, C, і D так, щоб точка B лежала між точками A і C, а також між A і D; точка C — між A і D, а також між B і D».

В 1902 році Е.Г. Мур довів, що ця аксіома надлишкова і є наслідком аксіом належності та порядку.