МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
РЕФЕРАТ
з вищої математики на тему
“Давид Гільберт і його досягнення в галузі математики ”
Виконала студентка ОЕФ гр.12
Юфрос Л.О.
Керівник: кандидат фізико-математичних наук
доцент кафедри ММАЕ
Чернишев В.Г.
Одеса 2015
Біографія
Давид Гільберт народився в сім'ї судді Отто Гільберта в містечку Велау поблизу Кенігсберга (після другої світової війни — смт. Знаменськ Гвардєйського району Калінінградської області, Російська Федерація). У 1880 році поступив в Кенігсберзький університет, де подружився з Германом Мінковським та Адольфом Гурвіцом. У 1885 році захистив дисертацію з теорії інваріантів, науковим керівником якої був Ліндерман, а в наступному році став професором математики в Кенігсберзі. У 1895 році на запрошення Фелікса Клейна перейшов працювати в Геттінгенський університет, де залишився аж до кінця життя. Серед його прямих учнів в Геттінгені були: Ернст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Ріхард Курант, Гуґо Штейнгауз, Вільгельм Аккерман, шаховий чемпіон Емануїл Ласкер та інші. Також своїм вчителем його вважали Еммі Нетер та Алонзо Черч.
У 1897 році вийшла його монографія «Zahlbericht» («Доповідь про числа») з теорії алгебраїчних чисел. На Другому Міжнародному конгресі математиків у Парижі у 1900 році Гільберт сформулював 23 важливих математичних проблеми, розв'язання яких, на його думку, сприяло б подальшому розвитку математики. З 1902 року Гільберт стає редактором найавторитетнішого математичного журналу «Mathematische Annalen». У 1910-х роках Гільберт створює сучасний функціональний аналіз, запровадивши поняття гільбертового простору. Одночасно він консультує Ейнштейна і допомагає йому в розробці чотиривимірного тензорного аналізу, який є основою Загальної теорії відносності.
У 1920-х роках Гільберт та його школа зосередились на побудові аксіоматичних обґрунтувань математики. Для збереження всіх досягнень класичної математики Д. Гільберт розробив програму побудови основ математики. Він зробив спробу формалізації всієї математики, побудувати її як формальну аксіоматичну теорію. Результатом такої теорії є точний математичний об'єкт, який можна використати для розгляду іншої вже змістовної теорії, яку Д. Гільберт назвав метаматематикою. Для підтвердження цієї теорії була необхідність доведення несуперечності формальної математики. Проте видатний математик К. Гедель, у своїх визначних теоремах про неповноту, довів принципіальну обмеженість методу формалізації.
Внесок у математику
Давид Гільберт був математиком-універсалом. Його ім'я зустрічається майже в усіх розділах сучасної математики. Його діяльність можна розкласти на періоди:
теорія інваріантів (1885–1893),
теорія алгебраїчних чисел (1893–1898),
основи геометрії (1898–1902),
принцип Діріхле і суміжні проблеми варіаційного числення та диференційних рівнянь (1900–1906),
теорія інтегральних рівнянь (1900–1910),
розв'язання проблеми Воринга в теорії чисел (1908–1909),
основи математичної фізики (1910–1922),
логічні основи математики (1922–1939).
Дослідження Гільберта справили великий вплив на розвиток багатьох розділів математики, а його діяльність в Геттінгенському університеті значною мірою сприяла тому, що Геттінген в першій третині XX століття був одним з основних світових центрів математичної думки. Дисертації великого числа значних математиків (серед них Р. Вейль, Р. Курант) були написані під його науковим керівництвом.
На II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році Давид Гільберт представив так звані Проблеми Гільберта - список з 23 кардинальних проблем математики. Тоді ці проблеми (що охоплюють базиси математики, алгебру, теорію чисел, геометрію, топологію, алгебраїчну геометрію, групи Лі, речовинний і комплексний аналіз, диференціальні рівняння, математичну фізику і теорію ймовірностей, а також варіаційне числення) не були вирішені. На даний момент вирішені 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчато, щоб зрозуміти, вирішена вона чи ні, інша, далека від вирішення, - фізична, а не математична). З решти 5 проблем дві які не вирішені ніяк, а три вирішені тільки для деяких випадків.
Однією з вагомих праць є класичні «Підстави геометрії» Гільберта (1899), що стали зразком для подальших робіт з аксіоматичної побудові геометрії. Хоча ідея побудови моделі однієї математичної структури на базі іншої використовувалася і до Гільберта (наприклад, В. Р. Гамільтоном), тільки Гільберт реалізував її з вичерпною повнотою. Він не тільки дав повну аксіоматику геометрії, але також детально проаналізував її, довівши незалежність кожної зі своїх аксіом.
Ще одним внеском є Парадокс Гільберта. Парадокс Гільберта про Grand Hotel (великий готель) - це математичний достовірний парадокс (несуперечливе припущення, що є дуже нелогічним) про нескінченні множини. Давид Гільберт розробив цей парадокс в 1920-х роках, щоб проілюструвати таємничі властивості нескінченності. Парадокс полягає в тому, що в повністю заселений нескінченно великий готель можна додатково заселити нескінченну кількість гостей. Наприклад, розглянемо гіпотетичний готель із зліченно нескінченною кількістю номерів, кожен з яких зайнятий - тобто кожен номер містить гостя. Можна подумати, що готель не в змозі вмістити нових гостей, як було б у випадку зі скінченним числом кімнат. Нехай новий гість прибуває і хоче бути розміщеним в готелі. Оскільки готель має нескінченно багато кімнат, ми можемо переселити гостя, що займає номер 1, у номер 2, гостя з номера 2 у номер 3 і так далі, і поселити нового гостя в номері 1. Повторюючи цю процедуру, можна звільнити місце для будь-якого зліченного числа нових гостей.
Для творчості Гільберта характерні впевненість у необмеженість сили людського розуму, переконання в єдності математичної науки, і єдності математики і природознавства. Зібрання творів Гільберта, видане під його наглядом (1932-1935), закінчується статтею «Пізнання природи», а ця стаття - гаслом «Ми повинні знати - ми знатимемо» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.).