Решение типовых задач
Задача. Найти неопределенные интегралы:
а)
б)
в)
Решение. а) Предварительно преобразуем подынтегральную функцию и затем применим свойства неопределённого интеграла и формулу (20) Таблицы интегралов:
=
=
=
б)
воспользуемся подстановкой
,
тогда
,
откуда
.
Таким образом,
=
.
При вычислении неопределённого интеграла, полученного в результате замены переменной, мы пользовались формулой (21) Таблицы интегралов.
в)
В неопределённом интеграле выполним
замену
,
чтобы привести его к табличному виду.
Тогда
.
Получим:
При
вычислении неопределённого интеграла
была использована формула (20) Таблицы
интегралов.
41-50. Задачи контрольной работы. Вычислить с помощью определённого интеграла площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую фигуру.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Решение типовой задачи
Задача.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой
и прямой
Решение.
Площадь
фигуры, ограниченной сверху непрерывной
кривой
,
снизу — непрерывной кривой
,
слева — прямой
,
справа — прямой
,
вычисляется по формуле:
.
(***)
Найдем точки пересечения заданных параболы и прямой. Составим и решим систему их уравнений:
.
Подставив в первое уравнение системы вместо у сумму х + 3, получим:
,
,
,
,
.
Отсюда,
Тогда
Таким образом, парабола и прямая
пересекаются в точках
и
.
Из формулы (***) следует, что площадь фигуры равна
=
=
=
Следовательно, искомая площадь равна 1,5 кв. ед. Рассмотренная фигура изображена на рисунке.
Рис. 3
Тема IV. Дифференциальные уравнения
[1], гл. XІІ, §§ 1,3;
[2], ч. ІІ, гл. ІV, § 1;
[3], гл. XІІІ, §§ 1–5;
[6], задачи: 2057, 2061, 2064, 2065, 2067, 2080, 2083, 2085;
[8], глава IV.
51-60. Задачи контрольной работы. Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения.
С
остояние
популяции (в простейшем понимании –
стада) можно охарактеризовать массой
m
этой популяции (т.е. весом всего стада),
причем масса m
является функцией времени
.
Считая, что скорость прироста биомассы
пропорциональна биомассе популяции с
коэффициентом
,
и что известна начальная биомасса
(при
),
найти величину биомассы в момент
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Решение типовой задачи
Задача.
Найти значение
биомассы в момент Т=12, если в начальной
момент (при t=0)
значение биомассы
и
Решение.
Составим
дифференциальное уравнение, описывающее
динамику развития популяции. Скорость
изменения биомассы характеризуется
производной
(при
— это скорость развития, при
— скорость вымирания). По условию задачи
или
Это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные m и t:
Отсюда после почленного интегрирования получаем:
,
т.е.
.
(в
данном случае произвольную постоянную
удобно взять в виде
.
Из последнего равенства следует формула
для общего решения дифференциального
уравнения:
.
Для
определения значения произвольной
постоянной С полагаем
В результате получаем:
Таким образом, из общего решения дифференциального уравнения приходим к выражению
Положим
теперь в этом равенстве
Тогда
Следовательно,
в момент
(ед.) значение биомассы будет составлять
50 (ед.).