Решение типовой задачи

Задача. Исследовать функцию на экстремум и определить интервалы её возрастания и убывания. Найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы его выпуклости и вогнутости. Построить график данной функции.

Решение. Исследуем данную функцию на экстремум с помощью производной. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем её к нулю:

Решая последнее уравнение, находим его корни и Таким образом, и — критические значения аргумента. Так как производная существует при любом значении , то других критических точек не имеется.

Исследуем критическую точку . Определим знак первой производной левее и правее этой точки в достаточно малой её окрестности. Производную можно представить в виде произведения двух сомножителей:

. (*)

Из равенства (*) видно, что при производная положительная, а при производная отрицательна. Следовательно, в интервале функция возрастает, а в интервале - убывает. Так как производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

Теперь исследуем критическую точку . Из равенства (*) видно, что при производная положительна. Следовательно, в интервале функция возрастает. Так как производная при переходе через критическую точку меняет свой знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Вычислим значение функции в точках экстремума:

точки максимума и минимума отмечены на рисунке, где показан график исследуемой функции.

Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную , приравниваем её к нулю и находим действительные корни уравнения :

Отсюда критическая точка второго рода. Запишем вторую производную в виде:

. (**)

Из правой части равенства (**) следует, что при вторая производная отрицательна, а при положительна. Следовательно, в интервале график функции является выпуклым, а в интервале — вогнутым.