Указания к выполнению контрольной работы Тема і. Введение в анализ
,
гл. VІ, §§ 1–9; гл. VІІ, §§; гл. VІІІ, §§ 1–6;
,
гл. І, §§ 1–9;
гл. ІІ;
[6], задачи 676, 679, 682, 686, 961, 737, 747, 748, 753, 763, 771, 772.
1–10. Задачи контрольной работы. Вычислить указанные пределы.
1.
а)
б)
2.
а)
б)
3.
а)
б)
4.
а)
б)
5.
а)
б)
6.
а)
б)
7.
а)
б)
8.
а)
б)
9.
а)
б)
10.
а)
б)
Решение типовых задач
Задача. Найти следующие пределы:
а)
б)
Решение.
а) Непосредственная подстановка
предельного значения аргумента
приводит к неопределённому выражению
вида
.
При
числитель и знаменатель дроби —
бесконечно малые величины. Чтобы
раскрыть такого вида неопределенность,
необходимо предварительно дробь
преобразовать. Разложим на множители
числитель и знаменатель дроби и сократим
их на
:
.
Заметим,
что аргумент
только стремится к своему предельному
значению 2 , но не совпадает с ним.
Следовательно, разность, т.е. множитель,
на который мы сокращаем, отличен от нуля
при
.
б)
при
получаем неопределённое выражение
.
Чтобы найти предел дробно-рациональной
функции
при
,
необходимо предварительно числитель
и знаменатель дроби разделить на
,
где
–
наивысшая из степеней многочленов
и
.
Разделим числитель и знаменатель данной
дроби на
и применим основные теоремы о пределах,
свойства бесконечно малых величин:
Тема II. Дифференциальное исчисление
, гл. ІX, §§ 1–5; гл. X, §§ 1,2,7,8; гл. XІІ, §§ 1–3;
,
ч. І, гл. V, §§ 2–4; гл. VІ, §§ 1,2;
,
гл. ІІІ, §§ 1–12, 14–16, 20–25;
[6], задачи 849, 851, 854, 858, 846, 881, 895, 896.
Для справок приведём основные правила и формулы дифференцирования.
Таблица производных
(1)
,
где с – произвольная постоянная.
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
a
– любое
действительное число,
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
11-20. Задачи контрольной работы. Найти производные заданных функций:
11.
а)
б)
в)
12.
а)
б)
в)
13.
а)
б)
в)
14.
а)
б)
в)
15.
а)
б)
в)
16.
а)
б)
в)
17.
а)
б)
в)
18.
а)
б)
в)
19.
а)
б)
в)
20.
а)
б)
в)
.
Решение типовых задач
Задача. Найти производные заданных функций:
а)
б)
в)
Решение.
а) Вводя
дробные и отрицательные показатели,
будем иметь
Применяя правило дифференцирования
суммы (формула (2) Таблицы производных),
формулу дифференцирования степенной
функции (7) Таблицы производных и формулу
дифференцирования постоянной (5) Таблицы
производных, получаем:
б) Применяя правило дифференцирования дроби (формула (4) Таблицы производных), получим
.
При этом по формуле (7) Таблицы производных
,
а по формуле (13) Таблицы производных
.
Отсюда:
в)
Под знаком производной имеем сложную
функцию вида
,
где
— промежуточный аргумент. Используя
формулу (7), получим:
.
Далее, применяя формулы (1), (12) Таблицы производных найдем
Тогда
21-30. Задачи контрольной работы. Исследовать данную функцию и построить её график. Исследование предусматривает нахождение точек экстремума и интервалов возрастания и убывания функции, нахождение точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости графика.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
.