6.1. Умозаключения из сложных высказываний
Сюда относятся следующие простые формы (схемы) умозаключений, если А, то В
_А - утверждающий модус условно-категорического
В силлогизма
Условно-категорический силлогизм, включающий два правильных модуса:
Если А, то В
не-В (неверно, что В) - отрицающий модус условно-категорического
не-А (неверно, что А) силлогизма
Умозаключение в первом случае характеризуют как движение мысли от утверждения основания условного высказывания (посылка А) к утверждению его следствия (заключение В).
Второй модус согласно той же терминологии представляет собой движение мысли от отрицания следствия условного высказыва-1Н1Я (посылка не-В) к отрицанию его основания (заключение не-А). А и В здесь в свою очередь какие-то высказывания, но не обязательно категорические, как предполагалось в традиционном учении (откуда и произошло название данных модусов). Эти высказывания могут быть любыми, в том числе и сложными.
Рассмотрим умозаключение: «Если сумма цифр числа 346 не делится на 3, то оно не делится на 3. Сумма цифр числа 346 не делится на 3. Следовательно, число 346 не делится на 3». Это умозаключение также представляет собой утверждающий модус, несмотря на отрицательный характер второй посылки, ведь она является утверждением основания условного высказывания, которое, как можно увидеть носит отрицательный характер.
Используя введенную ранее символику, исходные схемы утверждающего и отрицающего модуса условно-категорического силлогизма можем представить в виде:
и
Обратим внимание и на неправильные формы условно-категорического силлогизма, тем более, что в практике рассуждений нередко встречаются ошибки, связанные с ними: «от отрицания основания условного высказывания к отрицанию следствия», а также «от утверждения следствия к утверждению основания условного высказывания».
Условно-разделительный (лемматический) силлогизм
Умозаключения этого вида (по названию происходят от древнегреческого lemma – предположение) есть выводы из трех и более высказываний, причем две или более посылок — условные высказывания, а одна — дизъюнктивная посылка, которая традиционно называется разделительным суждением. Причем разделительное суждение может быть как со слабой, так и со строгой дизъюнкцией. Мы рассмотрим случай, когда употребляется слабая дизъюнкция, как более общий случай.
В ситуации двух условных высказываний эти силлогизмы называются дилеммами. Причем различают два вида дилемм: конструктивные и деструктивные. Конструктивная (утверждающая) дилемма имеет вид:
Если А, то В Если С, то Д
А или С
В или Д
Деструктивная (отрицающая) дилемма:
Если А, то В
Если С, то Д
не-В или не-Д
не-А или не-С
Пример. Студент, не готовившийся заранее к экзамену, накануне экзамена оказывается перед дилеммой:
Eсли я лягу нормально спать, то не подготовлюсь к экзамену. Если же я буду заниматься ночью, то приду на экзамен с головной болью. Но мне остается только или ложиться спать или заниматься ночью. Следовательно, я приду на экзамен неподготовленным или с больной болью.
Однако имеется и третья форма лемматических yмoзaключeний. Это смешанный условно-разделительный силлогизм — конструктивпо-деструктивный силлогизм или все равно, что деструктивно-конструктивный. Некоторые из членов разделительной посылки в этих умозаключениях указывают па наличие оснований каких-нибудь из условных суждений, а иные — представляют собой отрицание следствий (консеквентов) условных суждений.
Так, например, конструктивно-деструктивной является дилемма вида:
Если А, то В
Если С, то Д
А или не-Д
В
или не-С
Среди дилемм различают еще простые и сложные. Приведенные выше дилеммы были сложными. Дилемма является сложной, когда как основания, так и следствия условных суждений различны.
В простой дилемме, если она конструктивная, основания различны, а следствие в условных суждениях одно и то же.
В деструктивной дилемме основание одно и то же, а следствия различны.
Если А. то С Если А, то С
Если В, то С Если А, то В
А или В не-С или не-В
С не-А
Чисто-условный силлогизм. Это выводы из любого количества посылок, представляющих собой условные высказывания. Наиболее типичны выводы из 2-х условных высказываний;
Если А, то В
Если В. то С
Если А, то С
Пример:
Если студент занимается не систематически, то он не имеет прочных знаний.
Если же он не имеет прочных знаний, то он не будет хорошим
специалистом.____________________________________________________
Если студент занимается не систематически, то он не будет хорошим специалистом.
К числу чисто-условных силлогизмов относится также и умозаключение вида:
Если А, то В
Если не-В, то не-А,
которое называют просто правилом контрапозиции. Пример:
Если человек знает геометрию, то он знает теорему Пифагора.
Если он не знает теоремы Пифагора, то он не знает геометрии.
Разделительно-категорический силлогизм
Это умозаключение из двух или более посылок, в которых, по крайней мере, одна — разделительное суждение. Основными формами являются:
А или В - модус tollendo ponens
не-А (отрицательно-утверждающий).
В
Дизъюнкция здесь может быть как слабой, так и сильной.
А либо В - модус ponendo tollens
А (утверждающе-отрицаюншй).
не-В
где «либо» — сильная дизъюнкция.
Дизъюнктивная (разделительная) посылка может содержать и более 2-х членов. Однако формы выводов с такими посылками можно сводить к указанным.
Вообще, все формы выводов этого вида могут быть сведены к двум общим правилам:
Если из всех возможностей, на которые указывает разделительное высказывание, какие-то не имеют места, то имеют место все остальные.
Если из исключающих друг друга возможностей, на которые указывает разделительное суждение со строгой дизъюнкцией, какая-то имеет место, то не имеют места остальные.
Пример:
Суждение: «Риск — благородное дело» (которое, очевидно, является простым) является единичным или общим, или частным, но оно не является единичным. Следовательно, это суждение общее или частное.
Вместо употребленной здесь посылки со слабой дизъюнкцией можно было бы, очевидно, взять и со строгой, сильной дизъюнкцией, поскольку в действительности члены данной посылки исключают друг друга. Тогда правильным был бы следующий вывод: Суждение "Риск — благородное дело" является либо единичным, либо частным, либо общим.
Это суждение — частное (если иметь в виду его истинность).
Следовательно, данное суждение не является единичным и не является общим.
Обратимся к примеру чисто-условного силлогизма о студенте, который не занимается систематически. Изучающий логику мог заметить, что заключение в нем может быть ложным, если иметь в виду, к примеру, студента с выдающимися способностями (который может иметь прочные знания, даже не занимаясь систематически). В чем же, спрашивается, состоит причина того, что в умозаключении заключение оказывается ложным? Это означает, что умозаключение неправильно или какая-то из его посылок неистинна. Однако умозаключение правильно. Следовательно, какая-то из посылок этого умозаключения неистинна.
Перечисленных в данном параграфе правил недостаточно для того, чтобы в любом случае осуществить вывод из некоторого множества посылок А1, ... , Am высказывания В, которое является логическим следствием из этих посылок. Полную систему правил, позволяющую построить вывод, соответствующий любому отношению логического следования между сложными высказываниями, содержат известные в символической логике логические исчисления высказываний.
Поскольку задача наша здесь состояла в том, чтобы выделить наиболее типичные, практически важные формы умозаключений, следует добавить к перечисленным две формы выводов — правила так называемых косвенных рассуждений, которые не были замечены как специальные правила вывода в традиционной логике и получили точные формулировки в рамках символической логики. Этими формами нередко пользуются в процессах аргументации, в частности, как средствами доказательств и опровержений. Неслучайно сами их названия связаны именно с процессами этого рода. Одна из них — доказательство «от противного», другая — опровержение «путем ведения к абсурду». Сразу следует заметить, что эти формы вывода, вероятно, известны читателю из школьных курсов математики и геометрии. Однако обычно при употреблении этих способов рассуждения не выявляют структуру этих выводов, в силу чего они не рассматриваются как особые правила рассуждения. Это сделано лишь в рамках логики высказываний.
Рассуждение по первой из этих форм — «от противного» не имеет структуры.
Дано некоторое множество посылок — высказываний — Г и подлежащее доказательству некоторое высказывание А. Рассуждая «от противного», предполагаем, что А неверно (не-А). Задача теперь состоит в том, чтобы прийти к противоречию, а именно: попытаться из множества высказываний Г и не-А вывести некоторое высказывание В и из тех же самых посылок Г и не-А - также не-В. Наличие двух таких выводов позволяет заключить, что если все высказывания, содержащиеся в Г, истинны, то истинно и А («что и требовалось доказать», как обычно говорят использующие этот метод).
В качестве примера такого рассуждения можно взять известное доказательство теоремы в эвклидовой геометрии: «Из точки на плоскости можно опустить лишь один перпендикуляр на прямую, лежащую на этой же плоскости» (это наше «А»). Рассуждая «от противного», предположим, что данное утверждение неверно, то есть не-А ( А). Теперь из Г, представляющего в данном случае множество аксиом эвклидовой геометрии, и не-А выводят, что существует треугольник с суммой внутренних углов больше 180° (наше не-В), то есть осуществляют вывод Г, А|—В. С другой стороны, известно, что из одних только аксиом геометрии выводима теорема о равенстве внутренних углов треугольника именно 180° (наше В), то есть имеет место вывод ГВ. На основании полученного противоречия ( B и В) заключают об истинности А. Однако, при этом не учитывается, что второй член противоречия (высказывание В) выводимо не только из Г, но и из Г и не-А (Г, А|—В), согласно логическому принципу: если что-то выводимо из некоторого множества высказываний, то оно выводимо и из любого расширения этого множества. Применение этого принципа в данном случае дает выводимость Г, А|—В, фигурирующую в составе правила.
Таким образом, два известных способа рассуждения структурируются здесь в два точно формулируемые правила рассуждения; одно из них дает возможность доказательства А, другое — опровержения А, то есть доказательства не-А.
Строгое проведение рассуждений этих видов предполагает, что точным образом выделяется множество истинных высказываний (посылок) Г, что в практике рассуждений этого типа отнюдь не всегда делается. Без этого доказательство или опровержение не является строгим и не гарантирует истинность заключительного высказывания А или не-А, поскольку какие-то невыявленные явно посылки могут оказаться ложными.