5.5. Табличный метод решения некоторых логических задач

К числу задач относятся; определение истинностных значений сложных суждений, состоящих из более чем двух простых состав­ляющих; решение вопроса об отношениях между высказываниями (совместимость или несовместимость их, эквивалентность или не­эквивалентность); является ли некоторое сложное высказывание законом логики и решение наиболее важного для логики вопроса о наличии или отсутствии логического следования между некоторыми высказываниями.

Для решения всех этих задач нам требуется рассматривать не конкретные (по содержанию) высказывания, а логические их формы. Имея дело с логическими формами сложных высказыва­ний, которые называются логическими формулами, употребляют переменные для высказываний (пропозициональные переменные —p, q, r, s) которые могут представлять либо простые высказывания, либо сложные, но структура которых нас в тех или иных случаях не интересует, то есть рассматриваемые как элементарные.

Для определения истинностного значения сложного высказы­вания, содержащего несколько переменных, например, p (q r) надо во входной части таблицы перебрать все возможные распреде­ления истинностных значений для данных переменных, то есть все строки таблицы. В случае наличия многих переменных полезно иметь способ перебора всех указанных распределений, поскольку иначе какие-то строки могут быть упущены, а другие повторяться. Этот способ может быть таким.

Прежде всего, во входной части таблицы надо выписать (в лю­бом порядке) все попарно различные переменные и определить число возможных распределений значений для данного перечня переменных, го есть число всех возможных строк в таблице. Есте­ственно, оно зависит от количества переменных и определяется числом 2ⁿ, где n — число попарно-различных переменных. Каждой переменной будет соответствовать. Теперь столбец входных значений ее по отдельным строкам. При двух переменных мы имеем 4 стро­ки, при трех их будет 8 при четырех 16 и т.д.

Далее выписываем возможные значения для каждой перемен­ной в соответствующем ей столбце таблицы, начиная с последней; для нее Принимаем последовательность значений ИЛИЛИЛИЛИ и т.д. далее до последней строки, то есть чередование И и Л идет через одну строку, начиная с И. Для предпоследней переменной чередование идет через 2 строки, опять-таки начиная с И: ИИЛЛИИЛЛИИ и т.д. также до последней строки. Для предше­ствующей переменной чередование уже через 4 строки, далее через 8, 16 и т.д. (если, конечно, имеется соответствующее число переменных) и, наконец, в первом столбце входной части таблицы половина числа 2" идет И, а вторая половина состоит из знаков Л. Например, для трех переменных входная часть таблицы будет иметь вид:

р	q	г
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л

В следующей — выходной части таблицы определяется зна­чение исследуемых формул при соответствующих распределениях истинностных значений по пропозициональным переменным, то есть в каждой строке таблицы. При определении истинностного значения сложной формулы она разбивается на подформулы (составляющие), содержащие какие-то логические связки (то есть не элементарные формулы), и значение ее вычисляется последовательно, начиная с подформул наиболее глубоких вхождений (не считая элементарных), в нашем случае p и (q r), до главных ее подформул (в нашем случае — они же) и, наконец, самой формулы (в нашем случае p (q r)) на основе значений главных ее подформул.

Вся таблица для нашего примера будет иметь вид:

р	q	г	р	(q r)	p (q r)
и	и	и	л	и	и
и	и	л	л	и	и
и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	и
л	л	и	и	и	и
л	л	л	и	л	л

Если для некоторой формулы в каждой строке ее таблицы она принимает значение И (истина), то это указывает на то, что она является законом логики — тождественно истинной формулой (видим, что наша формула не является таковой). При этом если данная формула имеет вид А В.

Решить вопрос о наличии отношения логического следования А |=В можно, исходя из значений А и В: оно имеет место, если нет ни одной строки, в которой истинно А и ложно В.

Решение вопроса, следует ли некоторое высказывание В из со­вокупности высказываний A₁, ... ,А,_m, может быть получено в ­засимости от того, является ли законом логики высказывание (А₁ , А₂ ... А_m ) В или, проще, также лишь на основе истинностных значений высказываний Ai, ... Am и В. Интересующее нас отноше­ние (А| л... л А|„ )|= В имеет место, если и только если не ни одной строки в таблице, в которой истинны все высказывания А₁, ... , А_m и ложно В.

Рассмотрим, является ли законом логики формула (p q) ( q p) и в связи с этим также, имеется ли отношение ло­гического следования (p q) |= ( q p) и (p q), q |= p. Строим таблицу для определения возможных истинностных значений дан­ной формулы:

р	q	q	р	(р q)	( q p)	(p q) ( q p)
и	и	л	л	и	и	и
и	л	и	л	л	л	и
л	и	л	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и

Ясно, что наша формула есть закон логики. Значит, имеется следование (p q) |=( q p). Однако, этот вопрос можно решить, учитывая лишь значение формул (p q) и ( q p): в таблице пет ни одной строки, » которой формула (p q) была бы истинной, а ( q р) ложной.

Вопрос о совместимости или несовместимости некоторых выс­казываний А₁, ... , А,_m решается в зависимости от того, имеется или не имеется такая строка соответствующей таблицы, в которой все указанные высказывания имеют значение истины. Это равносильно тому, что конъюнкция данных высказываний при каких-то значе­ниях переменных является истинной, иначе говоря, не является ложной при любых значениях переменных: в таких случаях говорят, что она не является тождественно-ложной (некоторая формула называется тождественно-ложной, если она принимает значение ложь при любых значениях имеющихся в ее составе переменных).

Если какие-го два высказывания А и В имеют во всех строках соответствующей таблицы одинаковые значения, то они являются эквивалентными: символически записывается в виде |= (А~В), это равносильно ((А В) (В А)).

5.6. Понятие необходимого и достаточного условия

Обстоятельство А (признак, событие, явление и т.п.) является достаточным условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В, то есть для каждого случая истинно высказывание «Если А, то В».

Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В, если и только если А и В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А, отсутствует В, то есть в каждом случае истинно высказывание: «Если неверно А, то неверно В»; это высказывание эквивалентно высказыванию «Если В, то А».

Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие А, и наоборот. Ясно, что делимость суммы цифр числа на 3 есть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым? Известно из ариф­метики, что это действительно так.

Полезно иметь в виду, что вообще для любых двух обстоя­тельств справедлива классификация:

1. одно из них является достаточным и необходимым условием для другого или

2. достаточным, но не необходимым, или

3. недостаточным, но необходимым, или, наконец,

4. недостаточным и не необходимым.

Выше уже приведен пример признака достаточного и необхо­димого; еще пример: делимость числа на 2 и на 3 является необхо­димым и достаточным условием для его делимости на 6. Однако, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уго­ловной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Гласность же, являясь необходимым условием демокра­тии, не является в то же время достаточным, как и, например, повышение производительности труда для повышения уровня благо­состояния общества. Между тем, рост человека, его возраст и, ко­нечно, пол не являются ни достаточными, ни необходимыми усло­виями для усвоения логики.

Знание понятий необходимых и достаточных условий может избавить человека от хаотического и излишнего перечисления при­знаков предметов, способствовать минимизации тех данных, кото­рые характеризуют тот или иной предмет или предметы некоторого вида. Именно требование указанной минимизации подразумевается обычно в обращении к тому или иному человеку: «Выделяйте су­щественное», «Не нужно второстепенного, не идущего к делу» и т.п. Требования такого рода часто означают: укажите достаточные и необходимые признаки предметов данного класса.