3. Интегральная формула Коши.
Теорема 4. Пусть функция аналитична в ограниченной замкнутой односвязной области (D) и пусть (Γ) – граница (D). Тогда для любой точки z, лежащей внутри (D), справедливо равенство
, (3)
где обход вдоль (Γ) ведется в положительном направлении.
Доказательство.
Пусть (γ)
– окружность достаточно малого радиуса
r
с центром в точке z.
Так (Γ) и (γ)
гомотопны, то для функции
,
аналитичной во всей области (D),
за исключением точки z,
справедливы равенства
Осталось
доказать, что первое слагаемое в последнем
выражении равно 0. Зададим произвольное
достаточно малое число
.
Ввиду непрерывности
можно подобрать число
так, чтобы при любом
и для любого
выполнялось неравенство
.
Тогда для таких r
Получается, что для любого можно подобрать r настолько малым, что будет выполняться неравенство
.
Однако этот интеграл не зависит от r ввиду того, что все окружности достаточно малого радиуса гомотопны между собой, а это возможно лишь в том случае, если интеграл равен 0:
.
Это и доказывает формулу (3).
Небольшая модификация доказательства позволяет установить справедливость (3) и для многосвязной области.
Формулу (3), имеющую многочисленные следствия, называют формулой Коши. Замечательность ее состоит в том, что задание функции на границе (Γ) области (D) определяет ее однозначно во всей области (D).
Пример
1. Вычислить:
а)
;
б)
.
Решение.
а) Функция
аналитична в круге
.
Поэтому можно воспользоваться формулой
Коши (3):
.
б)
Функция
аналитична в круге
.
Следовательно, согласно формуле (3),
.
4. Теорема Гаусса о среднем значении.
Из формулы (3) вытекает следующий любопытный результат.
Теорема
5.
Пусть функция
аналитична в круге
.
Тогда значение
функции в центре круга является средним
арифметическим значений функции
на окружности
:
.
(Заметим, что окружность может быть задана уравнением .)
Доказательство. Согласно формуле (3),
5. Формула Коши для производных. Теорема Лиувилля.
Если формально продифференцировать n раз равенство (3), то получится формула Коши для производных:
. (4)
Законность такой операции можно доказать, но мы это опускаем. Из формулы (4) следует, что если функция является аналитической, то ее производная также является аналитической. Иначе говоря, аналитическую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз; в этом состоит существенное отличие картины от случая функции действительного переменного.
Из формулы (4) вытекает следующая
Теорема
6. Пусть
аналитична в круге
и пусть
.
Тогда
.
(Это и есть неравенство Коши для производных.)
Доказательство. Согласно формуле (4),
.
(Мы
воспользовались тем, что
равен длине линии (γ).)
Иначе говоря, производные функции в данной точке не могут расти очень быстро (по n).
Пример.
Вычислить: а)
;
б)
.
Решение.
а) Функция
аналитична в круге
,
поэтому, согласно формуле Коши для
производных,
.
Имеем:
.
Отсюда находим
.
б)
В круг
попадают две особые точки функции
:
и
.
Заключим каждую из них в контур,
представляющий собой окружность радиуса
1 с центром в соответствующей точке:
:
и
:
.
Тогда, согласно формуле (2´),
Функция
аналитична в круге
,
поэтому, согласно формуле Коши для
производных,
.
Имеем:
;
.
Отсюда находим
.
Функция
аналитична в круге
,
поэтому, согласно интегральной формуле
Коши,
.
Таким образом,
.
Справедливо следующее любопытное утверждение.
Теорема 7 (Лиувилль). Если функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена, то – постоянная функция.
Доказательство.
Пусть
для любого
.
Тогда для любого
,
согласно неравенству Коши для
,
.
Правая
часть
стремится к 0 при
.
Однако
не зависит от R;
следовательно, последнее соотношение
возможно лишь в случае
.
А это означает, что
.