III. Интеграл от функции комплексного переменного. Формула Коши.

1. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть в области определена функция и (Γ) – некоторая ориентированная линия в (D) (ориентация линии означает, что определено направление движения вдоль линии). Разобьем дугу точками (соответствует А), , , … , (соответствует В) на n частей. Обозначим , . На каждом частичном участке линии возьмем по точке и рассмотрим сумму

,

называемую интегральной суммой. Если существует конечный предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения , то говорят, что функция интегрируема на линии , а сам предел называется интегралом от по линии и обозначается

или .

Отметим, что непрерывная функция является интегрируемой, если линия имеет конечную длину. Если и , то , и интеграл примет вид криволинейного интеграла второго рода:

. (1)

Для вычисления интеграла нужно воспользоваться заданием линии (Γ); обычно она задается в параметрической форме

,

где , – дифференцируемые функции. Тогда , , и интеграл сводится к определенному интегралу

Интеграл от функции комплексного переменного обладает обычными свойствами интеграла:

1) ;

2) ;

3) при изменении направления обхода интеграл меняет свой знак:

(это касается и замкнутой линии, то есть контура);

4) ,

где означает элемент длины линии: ; в случае параметрического задания ;

5) если для любого и l – длина дуги , то

.

Свойство 4) является следствием неравенства треугольника, а неравенство 5) – следствием неравенства 4) и того факта, что

.

Пример 1. Вычислить интеграл , где (Γ) – часть параболы , .

Решение. Пусть , тогда , ; следовательно,

Пример 2. Вычислить , где (Γ) – часть окружности , ; направление обхода взять от точки (2;0) до точки (–2;0).

Решение. Запишем уравнение окружности в показательной форме: . В случае полуокружности (Γ) действует ограничение . Тогда , и, следовательно,

Пример 3. Вычислить , где (Γ) – окружность радиуса R с центром в точке , n – целое число; направление обхода – против часовой стрелки.

Решение. Данную окружность можно описать уравнением , . Сделаем замену ; тогда , . Отсюда получим

.

Рассмотрим сначала случай . Интеграл равен

При имеем

.

Таким образом,

Это очень важный результат, имеющий большие последствия.

2. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

Теорема 1. Пусть аналитична в односвязной области (D) и (Γ) – граница области (D). Тогда

.

Доказательство. Согласно формулу (1),

.

Так как аналитична, то для нее выполнены условия Коши-Римана

Из теории криволинейных интегралов известно, что первое условие обращает в 0 первый интеграл, второе – второй, следовательно, теорема доказана.

Эта теорема допускает обобщение и на более сложные области.

Теорема 2. Пусть аналитична в (D) – -связной области, (Γ) – внешняя граница области, охватывающая контуры , , … , , границей области является . Тогда

, (2)

где обход вдоль каждого контура ведется в положительном направлении, то есть движение вдоль контура осуществляется так, чтобы ближайшие точки области оставались слева от направления движения (на приведенном рисунке движение по (Γ) осуществляется против часовой стрелки, а вдоль , , … , – по часовой стрелке).

Доказательство. Приведем доказательство для случая трехсвязной области. Отметим точки A, B, C, E, F, G, H, K, M, N как показано на рисунке, при этом возьмем достаточно близкими друг к другу пары А и С, N и Е, G и K; и проведем достаточно узкие каналы CENA и FGKM. Если из трехсвязной области (D) вырезать эти каналы, то получится односвязная область (D´), и, согласно теореме 1,

.

Воспользуемся свойством 2) интеграла:

Теперь устремим точку С к точке А, точку N – к точке Е, M – к F, K – к G, а ширину каналов – к 0. Тогда

,

,

откуда следует

,

и в пределе получим равенство

,

или

,

что и требовалось доказать.

Общий случай разбирается аналогично.

Теоремы 1 и 2 справедливы и в том случае, когда аналитична в области (D) и непрерывна в .

Следствие. В условиях теоремы 2

, (2´)

где все обходы контуров совершаются против часовой стрелки.

Путем, соединяющим точки А и В, в области (D) назовем непрерывную линию без самопересечений в (D), соединяющую точки А и В. Пути и с общими концами в (D) назовем гомотопными, если один из них можно перевести в другой непрерывной деформацией, не выходя за пределы области (D).

Аналогично: ориентированные контуры и без самопересечений называются гомотопными, если один из них путем непрерывной деформации удается перевести в другой, не покидая пределов области (D) и с сохранением ориентации.

Из теоремы 1 вытекает следующий результат.

Теорема 3. Если аналитична в области (D) и , гомотопны в (D), то

.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда и – гомотопные пути, соединяющие точки А и В. Будем считать, что и не пересекаются (иначе приводимые ниже рассуждения придется проводить многократно). Поскольку аналитична внутри контура, то, согласно теореме 1,

,

или

,

откуда следует требуемое равенство .

Пусть теперь и – гомотопные контуры, причем лежит внутри и их ориентации совпадают. Проведем достаточно узкий канал BCGH, как показано на рисунке. Функция аналитична в области, ограниченной контуром ABCFGH, и, согласно теореме 1,

.

Отсюда

.

Неограниченно сужая канал, приходим к соотношениям

,

и в пределе получим

,

или

.

Если контуры и не имеют общих точек и один из них не охватывает другой, то либо внутри этих контуров аналитична, и, по теореме 1,

,

либо по крайней мере внутри одного из контуров имеется точка неаналитичности (особая точка) и эти контуры негомотопны.

Мы оставили без рассмотрения случай, когда контуры пересекаются – он сводится к уже рассмотренным.