3. Геометрический смысл производной. Конформные отображения.
Пусть
функция
аналитична в точке
,
причем
.
Пусть в комплексной плоскости z
задана гладкая линия (γ),
определяемая системой уравнений
,
или,
что то же самое, уравнением
,
,
при этом
,
.
(Гладкость
линии (γ)
означает, что в каждой точке линии можно
провести касательную к ней; гладкость
линии без самопересечений равносильна
дифференцируемости функций
и
.)
Под действием функции
эта линия перейдет в гладкую линию (Γ)
в плоскости
,
заданную уравнением
,
.
Мы
знаем, что комплексные числа и векторы
отождествляются по определенному
правилу. Вектор
направлен по касательной к линии (γ)
в точке
в плоскости Oxy,
а вектор
– по касательной к линии (Γ) в точке
в плоскости Ouv.
Согласно правилу дифференцирования
сложной функции,
,
откуда получаем
,
(7)
. (8)
Равенство
(8) говорит о том, что направление вектора
получается из направления вектора
путем поворота последнего на угол
,
а равенство (7) – что длина вектора
отличается от длины вектора
в
раз. Придадим переменному t
в точке
приращение Δt.
Тогда
,
.
Отсюда
,
.
В
пределе при
получим точное равенство.
Полученный результат можно сформулировать следующим образом.
Теорема
3.
Пусть функция
аналитична в точке
и
.
Пусть в комплексной плоскости z
задана гладкая линия (γ)
уравнением
,
,
,
;
и эта линия под действием функции
переходит в линию (Γ):
,
.
Тогда угол наклона касательной к линии
(Γ) в точке
отличается от угла наклона касательной
к линии (γ)
в точке
на величину
(то есть касательная поворачивается на
угол θ).
Элемент линии (Γ) в точке
отличается от соответствующего элемента
линии (γ)
в точке
в
раз.
В этом и состоит геометрический смысл производной . Отметим еще следствие теоремы 3.
Следствие.
Пусть функция
аналитична в точке
и
.
В плоскости
проведем окружность радиуса r
с центром в точке
.
Тогда под действием функции
эта окружность перейдет в замкнутую
линию, близкую к окружности радиуса R
с центром в точке
;
при этом
.
В пределе при
получим точное равенство.
В
плоскости Oxy
через точку
проведем две гладкие линии
и
,
угол между которыми равен α
(точнее говоря, α
– угол между касательными к этим линиям
в точке
).
Тогда под действием функции
эти линии перейдут в гладкие линии
и
,
угол между которыми также будет равен
α.
Иначе говоря, дифференцируемая функция
сохраняет углы между линиями.
Отображения, сохраняющие углы между линиями, называются конформными. Таким образом, аналитическая функция является конформным отображением.
4. Связь между аналитическими и гармоническими функциями.
Дважды
дифференцируемая функция
называется гармонической,
если она удовлетворяет уравнению Лапласа
.
Пусть аналитична в некоторой области (D). Тогда, согласно условиям Коши-Римана, во всех точках этой области справедливы равенства
Предположим, что и дважды непрерывно дифференцируемы (этот факт будет обоснован ниже при рассмотрении формулы Коши для производных). Продифференцируем первое из этих равенств по х, а второе – по y:
Сложив эти равенства и учитывая равенство смешанных производных, приходим к тождеству
,
то есть функция оказывается гармонической. Аналогичным образом устанавливается гармоничность функции . Таким образом, составляющие аналитической функции являются гармоническими функциями.
Возникает естественный вопрос: следует ли из гармоничности функций и аналитичность функции ? Оказывается, нет; для этого необходимо и достаточно соблюдения условий Коши-Римана.