2. Множества в комплексной плоскости.
ε-окрестностью
точки
в комплексной плоскости называется
открытый круг радиуса ε
с центром в точке
:
.
Если из этого круга выколоть центр (то
есть убрать точку
),
то получится проколотая ε
-окрестность точки
.
Множество в называется открытым, если оно наряду с каждой своей точкой содержит и некоторую ее ε-окрестность.
Точка
называется граничной
для множества М,
если любая ε-окрестность
точки z
содержит как точки, принадлежащие М,
так и точки, не принадлежащие М
(при этом не важно, принадлежит ли сама
точка z
множеству М
или нет).Совокупность всех граничных
точек множества М
называется границей
М
и обозначается
.
Множество М
называется
замкнутым,
если оно содержит все свои граничные
точки. Принято обозначать
.
Множество
называется ограниченным,
если оно содержится в некотором круге
конечного радиуса, то есть если существует
положительное число а,
такое что
для любого
.
Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве; в противном случае множество называется несвязным.
Множество называется односвязным, если любой (замкнутый) контур в нем можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не покидая этого множества; в противном случае множество называется многосвязным.
Открытое связное множество в назовем (открытой) областью. Если М – область, то назовем замкнутой областью в .
Пусть
задано правило, по которому каждому
натуральному числу
поставлено в соответствие комплексное
число
:
.
В таком случае говорят, что задана
последовательность
в плоскости
.
Число
называется пределом
последовательности
,
если
,
и при этом пишут
.
Если
,
,
то равенство
равносильно системе
Практически все свойства пределов последовательности в переносятся на случай (кроме связанных с неравенствами).
3. Два дополнения.
1. Множество является расширением множества , при этом сохраняются все свойства операций сложения и умножения чисел в , связанные с равенствами (коммутативность по сложению и умножению, ассоциативность и т.д.). Возникает мысль о возможности дальнейшего расширения до еще более широкого множества с сохранением тех же свойств. Это, однако, оказывается невозможным (теорема Ф.Фробениуса). Другими словами, можно добиться расширения множества , но при этом придется пожертвовать некоторыми привычными свойствами операций сложения и умножения чисел.
2.
Формула Эйлера
требует некоторых комментариев. Есть
несколько способов ее обоснования: 1)
принять формулу как определение функции
и доказать, что соблюдаются все известные
свойства степени; 2) определить
равенством
,
доказав, что существует конечный предел
при любом
,
а затем, исходя из этого, вывести формулу
Эйлера; 3) определить функцию комплексного
переменного
,
,
как сумму степенного ряда (о рядах будет
сказано ниже)
и
вывести формулу Эйлера, положив
и использую известные разложения в ряд
Тейлора функций
и
.