VI. Операционное исчисление.
1. Преобразование Лапласа и его свойства.
Функцией-оригиналом
называется
комплекснозначная функция действительного
аргумента
,
удовлетворяющая следующим условиям:
определена и является кусочно-гладкой на всей числовой оси;
при
;Существуют числа
и
,
такие что
;
точная
нижняя грань
таких s
называется порядком
роста
функции
.
Простейшим примером функции-оригинала является функция Хевисайда
Произведение
функций
и
обнуляет функцию
при
и не меняет ее значений при
:
Для
краткости всюду в дальнейшем будем
писать
вместо произведения
.
Если – функция-оригинал, то преобразование Лапласа, определяемое равенством
,
ставит
в соответствие функции
другую функцию
комплексного переменного
.
При этом
называют изображением
функции
и пишут
или
.
Теорема
1. Если
– функция-оригинал с показателем роста
,
то функция
определена и является аналитической в
полуплоскости
.
Преобразование
Лапласа обладает следующими свойствами
(считаем
,
):
Свойство 1 (линейность).
.
Свойство 2 (подобие).
.
Свойство 3 (запаздывание оригинала).
.
Свойство 4 (смещение изображения).
.
Свойство 5 (дифференцирование оригинала).
где
.
Свойство 6 (дифференцирование изображения).
Свойство 7 (интегрирование оригинала).
.
Свойство 8 (интегрирование изображения).
,
где путь интегрирования соединяет точку p и бесконечно удаленную точку и целиком лежит в полуплоскости .
Имеет место следующая формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина): если , то
,
где
интеграл берется вдоль любой прямой
.
2. Таблица оригиналов и изображений.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Нахождение изображения по оригиналу.
Пример
1.
Найти изображение функции
.
Решение.
Пример 2. Найти изображение оригинала , заданного графически.
Решение.
Запишем
оригинал в аналитическом виде:
Представим в виде суммы оригиналов.
1)
В промежутке
.
2)
В промежутке
.
Поэтому при
или
.
3)
В промежутке
.
Поэтому при
или
.
4)
Аналогично находим: при
или
Отсюда получим:
4. Нахождение оригинала по изображению.
Пример
3.
Найти оригинал изображения
.
Решение.
Найдем разложение функций
и
на сумму простейших дробей.
1)
;
;
Таким
образом,
.
Пользуясь теоремой запаздывания оригинала, находим:
.
2)
.
Тогда:
и
.
Итак,
.
Сверткой
функций-оригиналов
и
называется функция
,
определяемая правилом
.
Свертка функций-оригиналов также является функцией-оригиналом. Операция свертки обладает свойством коммутативности:
.
Теорема 2 (о произведении изображений). Если , , то
.
Пример
4.
Найти оригинал функции
(это первое слагаемое из предыдущего
примера).
Решение.
Обозначим
,
.
Тогда
,
.
Согласно теореме 2,
Следовательно,
.
Теорема 3 (первая теорема разложения). Если функция является аналитической в бесконечно удаленной точке (то есть функция
является
аналитической в нуле),
,
и
,
то оригиналом является функция
.
Теорема
4
(вторая теорема разложения). Если
является дробно-рациональной функцией
и
,
то
является изображением функции
,
где
,
где сумма берется по всем полюсам функции .
Пример. Найти оригинал функции (функция взята из предыдущего примера).
Решение.
Функция
имеет три изолированные особые точки:
0;
;
.
Согласно теореме 4,
.
Найдем
эти вычеты. Точки 0 и
являются простыми полюсами, поэтому
Таким образом,
.
И, наконец, пользуясь свойством запаздывания оригинала, получим:
.