Розділ 2. Елементи векторної алгебри та аналітична геометрія

Тема 1: Системи координат на прямій, на площині, в просторі. Вектори в системі координат.

1. Системи координат на прямій, на площині, в просторі.

2. Основні поняття про вектор.

3. Вектори в системі координат. Розклад вектора за базисом.

Короткі теоретичні відомості

Система координат – це сукупність умов, за допомогою яких визначається положення точки на прямій, на площині, в просторі.

Координатою точки на прямій зветься відстань , що вимірюється масштабною одиницею, взятою із знаком “+”, якщо напрям від точки до точки збігається з додатним напрямом на прямій, і з знаком “-“, якщо ці напрями протилежні. Відстань між точками та на прямій визначається таким чином: . (1)

Система координат на площині зветься прямокутною декартовою, якщо осі і взаємно перпендикулярні і мають однакові масштабні одиниці (мал.1).

Якщо спроектуємо точку на осі та , то має на осі координату (абсцису), а на осі координату (ординату).

Відстань від точки до точки знайдемо за формулою . (2)

Цілком аналогічно у просторі, проектуючи точку на взаємно перпендикулярні осі , , , що мають однакові масштабні одиниці, маємо відповідно абсцису, ординату та аплікату точки (мал.2).

Відстань між точками та визначається за формулою . (3)

Будемо називати вектором напрямлений прямолінійний відрізок. Довжину відрізка, який зображує вектор, називають модулем або довжиною вектора. Якщо модуль вектора дорівнює нулю, то вектор буде нульовим і напрям його невизначений.

Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називають колінеарними. Якщо ж вони до цього мають однаковий напрям, то їх називають співнапрямленими. Колінеарні вектори, що мають протилежні напрями, називають протилежно напрямленими. Вектори, що лежать на одній або паралельних площинах, називають компланарними. Якщо вектори співнапрямлені і мають однакові модулі, то такі вектори називають рівними. Якщо вектори мають однакові модулі, але протилежно напрямлені, то їх називають протилежними.

Сумою n векторів, розміщених послідовно, називають вектор, який сполучає початок першого вектор-доданка з кінцем останнього вектор-доданка. Якщо два вектори мають спільний початок, то для знаходження суми таких двох векторів необхідно побудувати на них паралелограм. Вектор, який збігається з діагоналлю побудованого паралелограма, що має спільний початок із заданими векторами, буде сумою цих векторів. Це правило додавання двох не колінеарних векторів називають правилом паралелограма.

Різницею двох векторів і називають такий третій вектор , який треба додати до вектора , щоб дістати вектор , отже, , якщо .

Добутком вектора на дійсне число (скаляр) називають такий вектор , модуль якого дорівнює і який колінеарний з вектором і однаково напрямлений з ним при та протилежно напрямлений при і є нуль-вектором при .

Розділити вектор на дійсне число означає помножити вектор на число , тобто .

Одиничним вектором вектора (або ортом вектора) називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці і який співнапрямлений з даним вектором.

Якщо маємо вектор у системі координат, то це означає, що задано його координати, тобто алгебраїчні проекції вектора на відповідні осі координат.

Нехай маємо прямокутну декартову систему координат у просторі. Координати вектора позначимо через . Тоді будемо записувати .

Очевидно, що , (4)

де - одиничні вектори, взяті відповідно за осями координат. Трійка векторів утворює координатний базис, якщо вектор належить осі , вектор - осі , вектор - осі . Кожен з векторів має напрям, що збігається з додатним напрямом відповідної осі, якій він належить. Подання вектора у вигляді (4) є розкладом вектора за координатним базисом .

Якщо вектор має координати , то його модуль визначається за формулою . (5)

Якщо маємо дві точки , то координати вектора визначаються так: . (6)

Якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

Приклад. Обчислити при яких значеннях і вектори колінеарні.

▲ Записавши умову колінеарності даних векторів, маємо . Так як у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, маємо: . Отже, . Отримали .▼