Линейная зависимость векторов.

Линейные операции сложение и умножение на число позволяют выражать одни вектора через другие. Выражение l₁a₁+ l₂a₂+...+ l_ka_k, где l_i (i = 1,..,k) - произвольные числа, называется линейной комбинацией векторов a₁, a ₂,...,a_k

Система векторов a₁, a₂, ..., a_k называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть выражен через другие вектора в виде их линейной комбинации, это возможно, если хотя бы один из коэффициентов l_i¹ 0 в линейной комбинации обращающейся в ноль.

Система векторов a₁, a₂,...,a_k называется линейно независимой, если ни один из векторов системы не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов, т.е. линейная комбинация векторов обращается в ноль в единственном случае, когда все коэффициенты l_i. = 0

Если в системе два коллинеарных вектора, то система векторов линейно зависима. Любое множество элементов, для которых определены линейные операции, называют линейным пространством (а иногда и векторным).

Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно не зависимых векторов.

ПРИМЕР.

Даны три вектора a₁=2a-3b, a₁=a+b, a₃=a-4b. Система этих трех векторов зависима, т. к. a₂+a₃=a_1.

На плоскости любые два не коллинерных вектора линейно независимы, à любая тройка векторов на плоскости линейно зависима.

В трехмерном пространстве любая тройка некомпланарных (не лежащих или не параллельных одной плоскости) векторов линейно независима, а любая четверка векторов линейно зависима.

Любой набор из максимального числа линейно независимых векторов некоторого линейного векторного R пространства называют его базисом. Наибольшее число линейно независимых векторов некоторого линейного векторного R пространства называют его размерностью. Приняты обозначения: R² - пространство двумерных векторов на плоскости; R³ - пространство трехмерных векторов в пространстве.

Проекция вектора на ось

Осью называют любую прямую в пространстве или на плоскости с заданным на ней направлением (обычно ее направление задается единичным вектором, называемым ортом оси).

Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов.

Углом между вектором а и осью L .называют угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси к вектору.

Проекцией вектора на ось L называется длина отрезка А’В’ между основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось L Скалярной (чисовой) проекция вектора, на ось L равна произведению модуля вектора на косинус угла, образованного вектором с осью пр_LАВ = |АВ|cos(L^AB). Принято обозначение пр_LAB.

Если числовую проекцию умножит на единичный вектор (орт) оси, то получим вектрную проекцию или составляющую вектора вдоль оси.

Операция проектирования - линейная операция, т.е. сохраняет линейные операции: пр_С (а+b)=пр_С а+пр_Сb, пр_С (ka)=kпр_С а

Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации их проекций; пр_L(l₁а₁+l₂а₂) = l₁пр_Lа₁ + l₂пр_Lа₂.

Базисом называется линейно независимая система векторов,такая, при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности: Если задан базис е₁ ,е₂ ,е₃ ,то разложение любого вектора а по этому базису единственно: а= а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃ Если дан базис е₁, е₂, е₃,то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются координатами а = ( а₁, а₂, а₃)

Замечание: У одного и того же вектора в разных базисах разные координаты.