ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Вектора и действия над ними

Есть величины, определяемые только их числовым значением, без указания направления (например, объем, масса, плотность и др.), — они называются скалярами. Другие величины — векторы — определяются и величиной и направлением из начала координат в какую-либо точку пространства. При повороте системы координат квадрат вектора не изменяется, а его проекции на оси координат изменяются по установленному закону.

Есть величины, изменяющиеся более сложно, например как произведение двух векторов. Они называются тензорными.

Кроме векторных и тензорных величин существуют другие, которые изменяются заданным образом при поворотах. Их называют спинорами. Из спиноров можно образовать квадратичную комбинацию, изменяющуюся, как вектор, или скалярную, не изменяющуюся при поворотах.

Величины характеризующиеся числом и направлением называются векторными (или векторами) в отличии от чисел называемых скалярными величинами. Перемещение, скорость, импульс, сила и др. - примеры векторных величин. Остановимся на свободных векторах, инвариантных при параллельном перемещении, в физике встречаются скользящие (вдоль линии приложения) и закрепленные (в точке приложения) вектора.

Вектор - направленный отрезок прямой, или упорядоченная пара точек; одна точка - начало, другая - конец вектора. АВ и ВА - противоположные векторы.

Модуль - длина вектора a =АВ обозначается |a| или |АВ|. При совпадении начала и конца вектора имеем нулевой, с нулевым модулем и неопределенным направлением.

Вектора равны, если совпадают модули и направления, вектора лежат на одной прямой или параллельных прямых и направлены в одну сторону, т.е. если один получается из другого параллельным переносом.

Так же как бессмысленно сравнивать величины разной размерности, скажем время и длину, массу и скорость, невозможно и равенство, в котором слева — скаляр, а справа — вектор.

Нулевой вектор 0 имеет модуль равный нулю и направление его не определено, поэтому нулевой вектор перпендикулярен и параллелен любому вектору.

Будем рассматривать свободные вектора -инвариантные при параллельном переносе, хотя в физике встречаются еще закрепленные и скользящие вектора

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. a+b=b+a (коммутативность) 2. (а+b)+с=а+(b+с) (ассоциативность) 3. a + 0=a (наличие нулевого элемента ) 4. a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением la вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

1. l×(a+b)= l×a+l×b (дистрибутивность относительно сложения векторов) 2. (l+m)×a=l×a+m×a (дистрибутивность относительно сложения чисел) 3. l×(m×a)=(l× m)×a (ассоциативность) 4. 1×a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).

В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

aa+bb+…+gc=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Базис системы векторов. Различные системы координат.

Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно–независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. На осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e₁,e₂,e₃ трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃.

Числа a₁,a₂,a₃ называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a₁,a₂,a₃}.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов, если два вектора исходят из одной точки производится по правилу параллелограмма, построенного на этих векторах, суммарный вектор - вектор диагонали исходящей из той же точки; a ± b -диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b

если векторы (возможно числом >2) расположены так, что начало последующего исходит из конца предыдущего вектора, то суммарный вектор - замыкающее звено многоугольника = вектор, соединяющий начало первого и конец последнего векторов.

Возможно, что сумма нулевой вектор, т.е. конец последнего совпадает с началом первого. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на паралльных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в паралленых плоскостях.

Умножение вектора на число l (результат параллельный - коллинеарный вектор исходному. ( |la| = |l|×|a| ) при l>0 вектор la имеет то же направление, то и a; где-при l<0 вектор la имеет противоположное направление, что и a; при l = 0 вектор la = 0 - нулевой вектор.

Замечания. Вычитание векторов - следствие предыдущих двух линейных операций. Вектор разности (при сложении по правилу параллелограмма) направлен по другой диагонали в сторону уменьшаемого.

Векторы лежащие на одной прямой или параллельных прямых называются коллинеарными. Операция умножения вектора на число позволяет записать векторное определение коллинеарности двух векторов: a || b Û a = lb

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным или ортом: e = a_î=a/|a|.

Справедливы следующие свойства линейных операций над векторами:

1. Коммутативность (переместительность) сложения: a + b = b + a;

2. Ассоциативность сложения: (a + b)+ c = a +(b + c); отсюда следует, что чтобы сложить векторы а₁, а₂,..., а_п нужно сложить из них ломанную, совмещая начало последущего вектора с концом предыдущего, тогда их сумма –замыкающая 3. Существует вектор,называемый нуль-вектор 0, такой что для всех а: а+0=а. 4. Для любого а существует вектор,называемый противоположным ,обозначаемый –а, такой что а+(–а)=0 5. Ассоциативность умножения на число: l(ma) = (lm)a; 6. Дистрибутивность умножения: l(a + b)= la + lb 7. Для всех а: 1×а=а

Множество векторов, замкнутое, относительно введенных на этом множестве линейными операциями, называется линейным векторным пространством L.