Примеры

Задача 1. В партии товара 80% изделий стандартны. Случайным образом отобрано пять изделий. Найти вероятность того, что три из них стандартны; стандартных не менее трех; стандартно хотя бы одно.

Каково наивероятнейшее число стандартных изделий и соответствующая ему вероятность?

Решение: Обозначим: событие А — взятое изделие стандартно. По условию ; ;

а)

Так как число повторных испытаний , применим формулу Бернулли.

Таким образом,

.

б) , то есть .

;

– найдено выше.

.

.

.

.

Найдем наивероятнейшее число

;

.

Единственное целое число из этого промежутка равно 4.

Итак, ему соответствует вероятность: - она была найдена выше.

Ответ: .

Задача 2. Вероятность того, что изделие прослужит гарантийный срок, равна 0,9. Организация закупила 60 изделий. Найти вероятность того, что прослужит гарантийный срок: а) половина всех изделий; б) не менее 52 и не более 58 изделий; в) хотя бы одно изделие.

Каково наивероятнейшее число изделий, которые прослужат гарантийный срок? Чему равна его вероятность?

Решение: Дано .

Так как , то применим формулы Лапласа.

а) . По локальной формуле Лапласа находим:

, где .

По таблице приближения 1: . Здесь учтено, что функции - четная. Тогда .

б) . По интегральной формуле Лапласа

, где , .

Значения и округляем до двух знаков после запятой.

По таблице приложения 2 находим значения функции , учитывая, что она нечетная:

;

.

Таким образом.

.

в) .

По локальной формуле Лапласа найдем:

,

так как по таблице приложения 1: .

Если вероятность события равна нулю, оно называется НЕВОЗМОЖНЫМ. Отсюда следует, что , то есть это событие обязательно произойдет, оно называется ДОСТОВЕРНЫМ.

Наивероятнейшее число :

;

,

то есть . Соответствующую ему вероятность находим по локальной формуле Лапласа: ,

где - значение найдено по таблице приложения 1.

Ответ: .

Задача 3. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 0,3. Какова вероятность, что выиграет, по крайней мере один из четырех купленных билетов?

Решение: .

.

Ответ: .

Задания для самостоятельно работы

1. В партии товара 75% изделий стандартны. Случайным образом отобрано 8 изделий. Найти вероятность того, что: а) 6 из них стандартны; б) стандартных не менее шести; в) стандартно хотя бы одно.

2. Оптовая база снабжает товаром 40 магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна 0,6 для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня: а) поступит 20 заявок; б) не менее 32 и не более 38 заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?

3. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна 0,4. Какова вероятность, что выиграет, по крайней мере, один из шести купленных билетов?

Вопросы для самоконтроля:

1. Что находится по формуле Бернулли? Когда удобно ею пользоваться?

2. Для чего служит локальная формула Лапласа? Когда она применима?

3. Для чего служит интегральная формула Лапласа? Когда ее применяют?

4. Дайте понятие наивероятнейшего числа появлений события в п независимых испытаниях. Как найти это число? Как найти соответствующую ему вероятность?

5. Функция ф(х), ее свойства и графическое изображение. Как пользоваться таблицей для функции ср(х)?

6. Функция Лапласа Ф(х), ее свойства и график. Как пользоваться таблицей значений для функции Ф(х)?