Задания для самостоятельной работы
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы (за время /) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно 0,05 и 0,08. Найти
вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Наступление события АВ необходимо влечет наступление события С. Доказать, что
.
Вопросы для самоконтроля:
Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.
Сформулируйте теорему сложения для зависимых и независимых событий. Что такое условная вероятность?
Дайте определение полной группы событий. Каким свойствам обладают вероятности событий, образующих полную группу?
Какие события называются противоположными? Как найти вероятность противоположного события?
Как найти вероятность появления только одного из двух независимых событий; только одного из двух зависимых событий?
Как найти вероятность появления только одного из трех независимых событий? То же для зависимых событий?
Как найти вероятность появления только двух событий из трех независимых событий? То же для зависимых событий?
Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий? То же для зависимых событий?
Практическое занятие №3
Тема: Полная вероятность и формула Байеса
Цель: формирование навыков использования формулы полной вероятности и формулы Байеса
На выполнение практической работы отводится 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Пусть
событие А может наступить лишь при
условии наступления одного из несовместных
событий 
образующих полную группу событий.
Пусть
известны вероятности этих событий
и известны
условные вероятности:
…, 
События
называются предположениями
или гипотезами.
Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий равны сумме произведений вероятностей каждого из данных событий на соответствующую условную вероятность события А.
- формула
полной вероятности.
Предположим,
что событие А наступило с одним из
предположений
.
Вероятность события А вычисляется:
Переоцениваем предположение, тогда:
формулы
полной вероятности 
Примеры
Задача 1. Первая партия из 15 одинаковых изделий, среди которых 2 изделия бракованных. Во второй партий 20 таких же изделий, из которых 3 бракованных. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего из второй партии выбирается наугад одно изделие. Определить вероятность того, что выбранное изделие окажется бракованным.
Решение: Задача решается по формуле полной вероятности.
Обозначим: Событие А - выбранное (после перекладывания) из второй партии изделие бракованное;
Событие
,
- переложено бракованное изделие из
1-ой партии во 2-ую. Событие 
- переложено не бракованное изделие из
1-ой партии во 2-ую. Вероятность событий
,
и
находим по ситуации для первой партии,
откуда и берется изделие для перекладывания.
Очевидно: 
.
Сумма этих вероятностей равна 1, так как события , и составляет полную группу событий. Во второй партии после перекладывания будет 21 изделие, причем число бракованных среди них будет зависеть от того, какое изделие мы переложим.
Очевидно:
.
По формуле полной вероятности находим:
.
Ответ:
.
Задача 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение:
Обозначим через А событие - деталь
отличного качества. Можно сделать два
предположения (гипотезы): В, - деталь
произведена первым автоматом, причем
(поскольку первый автомат производит
вдвое больше деталей, чем второй) 
;
В2 – деталь произведена вторым автоматом,
причем 
.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, Р(А\В) = 0,6. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, Р(А\В2) = 0,84. Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна:
.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна:
.
Ответ:
.