Примеры

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение: Общее число различных исходов есть = 1000. Число исходов благоприятствующих получению выигрыша, составляет = 200.

Согласно формуле, получим

.

Ответ: .

Задача 2. Из корзины, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение: Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных случаев равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по два: .

Число случаев , благоприятствующих событию А, составляет . По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Ответ: = 0,147.

Задача 3. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение: Число всех равновозможных независимых исходов равно числу сочетаний из 18 по 5, то есть .

Подсчитаем число исходов , благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2: .

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно . Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций т составляет . Искомая вероятность события равна отношению числа исходов , благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных независимых исходов: .

Ответ: вероятность того, что из 5 деталей 5 окажутся бракованными, равна 0,255.

Задания для самостоятельной работы

1. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 деталей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему рана вероятность вынуть деталь I, II или III сорта?

2. В корзине находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар также окажется белым.

3. В корзине находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, что: а) наудачу вынутый шар окажется черным; б) два наудачу вынутых шара окажутся черными.

4. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей). Наугад вынимают 4 билета. Найти вероятность того, что из 4 билетов 2 окажутся выигрышными.

5. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников.

Вопросы для самоконтроля:

1. Поясните понятие «испытания».

2. Что называется событием? Как они обозначаются?

3. Дайте определение несовместимых, единственно возможных,

4. равновозможных событий.

5. Какие события образуют систему элементарных исходов?

6. Дайте классическое определение вероятности.

7. Дайте статистическое определение вероятности.

8. Какие численные значения может принимать вероятность?

9. Дайте определение достоверного, невозможного, случайного события.

10. Чему равны их вероятности?