Вопросы для самоконтроля:

1. Дайте понятие дискретной случайной величины. Приведите примеры.

2. Как задать закон распределения дискретной случайной величины?

3. Назовите основные характеристики случайной величины.

4. Как находится математическое ожидание дискретной случайной величины?

5. Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины.

6. Как находится среднее квадратическое отклонение случайной величины?

7. По каким формулам вычисляется дисперсия дискретной случайной величины?

Практическое занятие №10

Тема: Числовые характеристики и медиана непрерывной случайной величины

Цель: формирование навыков вычисления числовых характеристик непрерывной случайной величины

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1. Ответить на теоретические вопросы.

2. Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Непрерывная случайная величина принимает сплошь все значения из некоторого промежутка, конечного или бесконечного. Закон распределения задается либо интегральной функцией распределения F(x), либо дифференциальной функцией .

Эти функции связаны между собой:

Вероятностный смысл F(x) - это вероятность того, что случайная величина X будет принимать значения меньше, чем х: , например .

Вероятностный смысл f(x) - плотность распределения вероятности случайной величины X.

Свойства функции :

а) непрерывная, неубывающая функция;

б) ;

Свойства функции :

а) ;

б) .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в заданный промежуток можно найти по формулам:

Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины:

1. Математическое ожидание: .

2. Дисперсия: .

Второй способ вычисления дисперсии:

, где

;

3. Среднее квадратическое отклонение: .

Начальный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенством .

Центральный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенством . В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу, то , . Очевидно, что если , то , ; если , то .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

.

Примеры

Задача 1. Случайная величина X задана плотностью распределения в интервале (0;l); вне этого интервала . Найти математическое ожидание величины X.

.

Решение: Используем формулу . Подставив и , получим .

Ответ: .

Задача 2. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения.

Воспользовавшись формулами для вычисления числовых характеристик непрерывной случайной величины, получим:

.

.

.

.

Ответ: .

Задача 3. Случайная величина X задана плотностью распределения в интервале (0;2); вне этого интервала . Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Решение: По формуле найдем начальные моменты:

; ; ; .

Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины равен нуль.

Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные моменты:

;

;

.

Ответ: ; ; ; ; ; ; ; .