Приклад №3

Довести, що вектори а = (3, – 1, 0), b = (2, 3, 1),

c = (–1, 4, 3) утворюють базис, і знайти координати вектора

d = (2, 3, 7) у цьому базисі.

Рішення.

Обчислюємо

abc =

3 2 -1

-1 3 4

0 1 3

= 22 0

Отже, вектори а, b, з утворюють базис, і вектор d лінійно виражається через базисні вектори:

d = αa + βb + γc

або в координатній формі

Вирішуємо отриману систему по формулах Крамера.

Знаходимо: = 22,

=

2 3 7

2 3 1

-1 4 3

= 66,

=	3 -1 0			2 3 7	-1 4 3		= – 44.

=

2 3 7

2 3 1

2 3 7

= 66,

= =3 , =-2, γ = = 3,

тому d = (3, –2, 3) = 3a – 2b + 3c .

№ Приклад 4

Дано вектори a = 4i, b = -i + 3j + 2k і c = 3i + 5j.

Необхідно а) обчислити добуток векторів a, b, і 5c; б) знайти модуль векторного добутку 3c і b; в) обчислити скалярний добуток векторів a і 3b; г) перевірити, чи будуть коллинеарні або ортогональні вектори a і b; д) перевірити, чи будуть компланарні вектори a, b і c.

Рішення.

а) Через те, що 5c = 15i + 25j, маємо

(a b) ∙ 5c =

4 -1 15

0 3 25

4 2 0

= – 100 – 180 – 200 = –480;

б) Оскільки 3c = 9i + 15j, тоді

(3c b) =

i 9 -1

j 15 3

k 0 2

= 30i + 27k + 15k – 18j = =30i – 18j + 42k,

|3c b|=

в) Знаходимо: 3b = –3i + 9j + 6k, a ∙ 3b = 4(– 3) + 0 ∙ 9 + 4 ∙ 6 = 12;

г) Через те, що a = (4, 0, 4), b = (-1, 3, 2) і маємо, що вектори a і b не коллинеарні. Оскільки

a ∙ b = 4(-1) + 0 ∙ 3 + 4 ∙ 2 0,

вектори a і b не ортогональні;

д) вектори a, b, c компланарні, якщо abc = 0. Обчислюємо

abc =

4 -1 3

0 3 5

4 2 0

= – 20 – 36 – 40 0,

тобто вектори a, b і c не компланарні.