Приклад №2

1, Дана система лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь

Перевірити чи спільна ця система, і у випадку спільності розв‘язати її: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним способом); в) методом Гауса.

Рішення.

Спільність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворень знайдемо ранг матриці

А =

1 2 3

5 4 -1

-1 -3 -3

даної системи й ранг розширеної матриці

В =

1 2 3

5 4 -1

-1 -3 -3

3 2 -7

Для цього помножимо перший рядок матриці В на (-2) і додамо до другого, потім помножимо перший рядок на (-3) і додамо до третього, поміняємо місцями другий і третій стовпці. Одержимо

В

~

1 0 0

5 -2 -16

-1 -1 0

3 -4 -16

~

1 0 0

-1 -1 0

5 -2 -16

3 -4 -16

Отже, rang A = rang B = 3 (тобто числу невідомих). Отже, вихідна система спільна й має єдине рішення.

а) за формулами Крамера :

х₁ = ₁/ , х₂= ₂/ , х₃ = ₃/ ,

=

1 2 3

5 4 -1

-1 -3 -3

= – 16;

1 =

3 2 -2

5 4 -1

-1 -3 -3

= 64;

2 =

1 2 3

3 2 -7

-1 -3 -3

= – 16;

3=

1 2 3

5 4 -1

3 2 -7

= 32;

знаходимо: х₁ = 64/(–16) = – 4, х₂ = – 16/(–16) = 1, х₃ = 32/(–16) = –2.

б) Для знаходження рішення системи за допомогою оберненої матриці запишемо систему рівнянь у матричній формі АХ=В. Рішення системи в матричній формі має вигляд х = А^-1У. за формулою А^-1 = В̃/∆ знаходимо обернену матрицю А^-1 (вона існує, бо ∆ = det А = – 16 ≠ 0):

А11 =

4 -1

-3 -3

= – 15

А21 =-

5 -1

-1 -3

= -16

А31 =

5 4

-1 -3

=-11

А12 = –

2 3

-3 -3

= – 3

А22 =

1 3

-1 -3

= 0

А32 = -

1 2

-1 3

= 1

А13=

2 3

4 -1

= -14

А23 = -

1 3

5 -1

= 16

А33 =

1 2

5 4

= –6

А-1 =

-15 -3 -14

16 0 16

-11 1 -6

.

Рішення системи:

Х =

х1 х2 х3

=

15 -3 -14

16 0 16

-11 1 -6

·

3 2 7

=

=

(-45 + 32 + 77) / ( - 16) ( -9 - 7 ) / ( -16 ) (-42 + 32 + 42 ) / ( - 16)

=

-4 1 -2

Отже, х₁ = – 4, х₂ = 1, х₃ = – 2.

в) Розв‘яжемо систему методом Гауса. Виключимо х₁ з другого й третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо із другого, потім перше рівняння помножимо на 3 і віднімемо із третього:

З отриманої системи знаходимо х₁ = – 4, х₂ = 1, х₃ = – 2 .

2. Дано систему лінійних неоднорідних алгебраїчний рівнянь

Перевірити чи спільна ця система, і у випадку спільності розв‘язати її:

а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним способом); в) методом Гауса.

Рішення.

Перевіряємо спільність даної системи за допомогою теореми Кронекера-Капеллі. У розширеній матриці

В =

2 3 5

-3 1 -2

1 -3 -2

2 1 4

міняємо третій і перший стовпці місцями, множимо перший рядок на 3 і додаємо до другого, множимо перший рядок на 2 і додаємо до третього, із другого рядка віднімаємо третій:

В =

2 3 5

-3 1 2

1 -3 -2

2 1 4

~

1 -3 -2

-3 1 -2

2 3 5

2 1 4

~

~

1 0 0

-3 -8 -8

2 9 9

2 7 8

~

1 0 0

-3 -8 0

2 9 0

2 7 1

Тепер ясно, що rang A =2, rang B =3. Відповідно до теореми Кронекера-Капеллі, з того, що rang A rang B, маємо неспільність вихідної системи.