Завдання №8

Перетворити рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду, знайти параметри, які визначають дану лінію та побудувати Ії.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Рішення типового варіанта Приклад №1

Для даного визначника

=

-3 2 4 3

2 -2 0 1

1 1 -1 -1

0 4 2 4

знайти мінори й алгебраїчні доповнення елементів а₁₂, а₃₂. Обчислити визначник : а) розкладаючи його за елементами першого рядка;

б) розкладаючи його за елементами другого стовпця; в) одержуючи попередньо нулі в першому рядку.

Рішення.

Знаходимо:

М12 =

2 4 3

1 -1 -1

4 2 4

= – 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16 = – 8

М32 =

-3 2 3

1 1 -1

0 4 4

= – 12 + 12 – 12 – 8 = – 20

Алгебраїчні доповнення елементів а₁₂ і а₃₂ відповідно дорівнюють:

А₁₂ = (– 1)¹⁺² М₁₂ = – (– 18)

А₃₂ = (– 1)³⁺² М₃₂ = – (– 20) == 18 20

а) Обчислимо

₌а₁₁А₁₁ + а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃ + а₁₄А₁₄ =

= – 3

-2 0 1

1 -1 -1

4 2 4

–2

2 4 3

1 -1 -1

4 2 4

+1

2 4 3

-2 0 1

4 2 4

=

= - 3(8 + 2 + 4 - 4) - 2(- 8 - 16 + 6 + 12 + 4 - 16) + (16 - 12 - 4 + 32) = 38.

б) Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

= – 2

2 4 3

1 -1 -1

4 2 4

–2

-3 4 3

1 -1 -1

0 2 4

+1

-3 2 4

1 1 -1

0 4 2

=

= - 2(- 8 + 6 - 16 + 12 + 4 - 16) - 2(12 + 6 - 6 - 16) + (- 6 + 16 - 12 - 4) =

в) Обчислимо , одержуючи попередньо нулі в першому рядку. Використаємо властивості визначників. Помножимо третій стовпець визначника на 3 і додамо до першого стовпця, потім помножимо на (- 2) і додамо до другого. Тоді в першому рядку всі елементи, крім одного, будуть нулями. Розкладемо отриманий у такий спосіб визначник за елементами першого рядка й обчислимо його:

=	-3 2 4 3		2 -2 0 1	1 1 -1 -1	2 4 2 4		=		0 5 1 0	0 -4 2 3		1 1 -1 -1		0 4 2 4		=
=		5 1 0	-4 2 3	4 2 4	=	0 1 0		-14 2 3			-6 2 4		=

= - (- 56 + 18) = 38

У визначнику третього порядку одержали нулі в першому стовпці за властивістю визначників.