Приклад №5
Вершини піраміди перебувають у точках А(2, 3, 4), В( 4, 7, 3), З(1, 2, 2) і D(–2, 0, –1). Обчислити: а) площу грані АВС; б) площу перерізу, який проходить через середини ребер АВ, АС, АD; в) об‘єм піраміди АВС.
Рішення.
а)
відомо, що SABC
=
| AB
AC
|.
Знаходимо:
AB = (2, 4, -1), AC = (–1, –1, –2),
-
AB AC =
i
2
-1
j
4
-1
k
-1
-2
= – 9i + 5j + 2k.
Остаточно маємо:
(кв.од.);
б) Середини ребер AB, BC, і AD перебувають у точках
K( 3; 5; 3,5), M(1,5; 2,5; 3), N(0; 1,5; 1,5). Далі маємо:
Sпер..
=
|КМ
КN|,
KM = (–1,5; –2,5; –0,5), КN = (–3; –3,5; –2),
КМ КN = |
i -1,5 -3 |
j -2,5 -3,5 |
k -0,5 -2 |
= – 3,25i – 1,5j – 2.25 k |
Sпер.
=
;
в)
Оскільки Vпір
=
|(AB
AC
)∙AD|,
AD
= (–4, –3, –5),
(AB AC)∙AD = |
2 -1 -4 |
4 -1 -3 |
-1 -2 -5 |
= 11. |
Тоді V
=
куб.од.
Приклад №6
Сила F = (2, 3, –5) прикладена до точки А(1, –2, 2). Обчислити: а) роботу сили F у випадку, коли точка її прикладання, рухаючись прямолінійно, переміщується з положення А в положення В(1, 4, 0); б) модуль моменту сили F відносно точки В.
а) Через те, що A = F ∙ s, s = AB = (0, 6, -2), одержуємо
F ∙ AB = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 6 + (–5)( –2) = 28, А = 28;
б) Момент сили М = ВА F, ВА= (0, –6, 2),
ВА F = |
i 0 -2 |
j -6 3 |
k 2 -5 |
= – 24i + 4j + 12k. |
Отже,
|M|
=
.
Список рекомендованої литератури
Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. – 176 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.
Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. Учебник – Д.: Сталкер, 1997. – 560 с.
Сукач Т.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия в примерах и задачах: уч. пособ.– Алчевск, ДГМИ., 2003 – 121 с.
Додаток
Варіанти завдань
варіант |
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
№6 |
№7 |
№8 |
№9 |
№10 |
||||||||
1 |
9 |
5 |
2 |
23 |
22 |
5 |
19 |
26 |
28 |
7 |
||||||||
2 |
26 |
23 |
4 |
7 |
6 |
23 |
13 |
16 |
9 |
11 |
||||||||
3 |
10 |
21 |
17 |
9 |
27 |
21 |
5 |
5 |
2 |
24 |
||||||||
4 |
30 |
4 |
5 |
29 |
2 |
4 |
23 |
19 |
6 |
17 |
||||||||
5 |
7 |
14 |
13 |
21 |
5 |
14 |
17 |
23 |
2 |
12 |
||||||||
6 |
23 |
30 |
10 |
14 |
1 |
30 |
1 |
27 |
12 |
6 |
||||||||
7 |
12 |
25 |
1 |
12 |
2 |
25 |
18 |
23 |
8 |
29 |
||||||||
8 |
30 |
20 |
19 |
5 |
18 |
20 |
19 |
5 |
18 |
28 |
||||||||
9 |
20 |
28 |
15 |
5 |
27 |
28 |
28 |
2 |
9 |
28 |
||||||||
10 |
21 |
6 |
11 |
17 |
7 |
6 |
23 |
28 |
18 |
15 |
||||||||
11 |
5 |
26 |
30 |
5 |
30 |
26 |
23 |
25 |
5 |
13 |
||||||||
12 |
1 |
2 |
28 |
17 |
1 |
2 |
20 |
6 |
2 |
25 |
||||||||
13 |
4 |
10 |
10 |
18 |
27 |
10 |
27 |
2 |
4 |
2 |
||||||||
14 |
8 |
15 |
25 |
26 |
30 |
15 |
20 |
12 |
23 |
4 |
||||||||
15 |
14 |
7 |
13 |
6 |
22 |
7 |
25 |
27 |
16 |
11 |
||||||||
16 |
6 |
3 |
23 |
26 |
13 |
3 |
6 |
22 |
10 |
13 |
||||||||
17 |
14 |
12 |
22 |
28 |
25 |
12 |
15 |
30 |
19 |
11 |
||||||||
18 |
25 |
20 |
16 |
1 |
9 |
20 |
27 |
25 |
24 |
30 |
||||||||
19 |
18 |
15 |
27 |
17 |
19 |
15 |
20 |
16 |
26 |
17 |
||||||||
20 |
12 |
26 |
4 |
15 |
23 |
26 |
1 |
22 |
8 |
10 |
||||||||
21 |
14 |
5 |
4 |
18 |
9 |
5 |
19 |
3 |
3 |
18 |
||||||||
22 |
15 |
13 |
12 |
7 |
14 |
13 |
11 |
5 |
22 |
4 |
||||||||
23 |
28 |
28 |
14 |
16 |
18 |
28 |
28 |
28 |
25 |
22 |
||||||||
24 |
6 |
21 |
8 |
22 |
25 |
21 |
14 |
10 |
16 |
9 |
||||||||
25 |
11 |
3 |
28 |
27 |
30 |
3 |
29 |
16 |
27 |
19 |
||||||||
26 |
6 |
29 |
11 |
15 |
27 |
29 |
7 |
13 |
27 |
23 |
||||||||
27 |
18 |
22 |
22 |
8 |
11 |
22 |
6 |
13 |
21 |
14 |
||||||||
28 |
7 |
6 |
4 |
16 |
9 |
6 |
12 |
3 |
20 |
9 |
||||||||
29 |
10 |
27 |
14 |
20 |
15 |
27 |
24 |
5 |
11 |
10 |
||||||||
30 |
2 |
1 |
15 |
26 |
5 |
1 |
27 |
21 |
16 |
29 |
||||||||
31 |
6 |
8 |
24 |
7 |
26 |
8 |
17 |
29 |
13 |
10 |
||||||||
32 |
14 |
14 |
18 |
30 |
2 |
14 |
18 |
20 |
30 |
26 |
||||||||
33 |
1 |
11 |
19 |
26 |
24 |
11 |
9 |
14 |
23 |
3 |
||||||||
34 |
2 |
14 |
9 |
3 |
25 |
14 |
2 |
19 |
17 |
12 |
||||||||
35 |
23 |
7 |
9 |
11 |
22 |
7 |
13 |
12 |
2 |
12 |
||||||||
36 |
12 |
24 |
4 |
24 |
6 |
24 |
2 |
22 |
16 |
18 |
||||||||
варіант |
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
№6 |
№7 |
№8 |
№9 |
№10 |
||||||||
37 |
14 |
23 |
27 |
4 |
29 |
23 |
15 |
3 |
17 |
19 |
||||||||
38 |
25 |
21 |
30 |
3 |
20 |
21 |
11 |
22 |
24 |
16 |
||||||||
39 |
19 |
15 |
5 |
25 |
1 |
15 |
24 |
14 |
3 |
19 |
||||||||
40 |
13 |
5 |
2 |
30 |
5 |
5 |
9 |
27 |
14 |
22 |
||||||||
41 |
12 |
2 |
25 |
26 |
20 |
2 |
26 |
14 |
20 |
23 |
||||||||
42 |
6 |
21 |
16 |
1 |
9 |
21 |
26 |
21 |
16 |
13 |
||||||||
43 |
12 |
2 |
20 |
12 |
4 |
2 |
4 |
16 |
4 |
17 |
||||||||
44 |
22 |
27 |
20 |
17 |
4 |
27 |
11 |
4 |
13 |
24 |
||||||||
45 |
19 |
13 |
4 |
29 |
30 |
13 |
7 |
14 |
15 |
29 |
||||||||
46 |
15 |
5 |
21 |
2 |
3 |
5 |
6 |
13 |
14 |
25 |
||||||||
47 |
7 |
28 |
20 |
12 |
18 |
28 |
4 |
1 |
17 |
1 |
||||||||
48 |
18 |
14 |
7 |
27 |
12 |
14 |
9 |
7 |
13 |
24 |
||||||||
49 |
22 |
23 |
14 |
15 |
11 |
23 |
4 |
26 |
13 |
8 |
||||||||
50 |
8 |
26 |
3 |
13 |
11 |
26 |
22 |
30 |
3 |
11 |
||||||||
51 |
9 |
1 |
10 |
7 |
29 |
2 |
7 |
29 |
2 |
17 |
||||||||
52 |
26 |
21 |
14 |
11 |
15 |
16 |
11 |
15 |
16 |
30 |
||||||||
53 |
10 |
12 |
10 |
24 |
20 |
15 |
24 |
20 |
15 |
14 |
||||||||
54 |
30 |
26 |
2 |
17 |
16 |
7 |
17 |
16 |
7 |
2 |
||||||||
55 |
7 |
2 |
8 |
12 |
18 |
5 |
12 |
18 |
5 |
16 |
||||||||
56 |
23 |
15 |
30 |
6 |
2 |
22 |
6 |
2 |
22 |
24 |
||||||||
57 |
12 |
11 |
6 |
29 |
13 |
6 |
29 |
13 |
6 |
23 |
||||||||
58 |
30 |
20 |
7 |
28 |
8 |
12 |
28 |
8 |
12 |
27 |
||||||||
59 |
20 |
2 |
23 |
28 |
27 |
13 |
28 |
27 |
13 |
18 |
||||||||
60 |
21 |
3 |
29 |
15 |
26 |
9 |
15 |
26 |
9 |
12 |
||||||||
61 |
5 |
15 |
28 |
13 |
8 |
10 |
13 |
8 |
10 |
13 |
||||||||
62 |
1 |
1 |
9 |
25 |
18 |
14 |
25 |
18 |
14 |
27 |
||||||||
63 |
4 |
22 |
17 |
2 |
24 |
24 |
2 |
24 |
24 |
26 |
||||||||
64 |
8 |
2 |
22 |
4 |
22 |
24 |
4 |
22 |
24 |
20 |
||||||||
65 |
14 |
29 |
12 |
11 |
5 |
29 |
11 |
5 |
29 |
3 |
||||||||
66 |
6 |
14 |
15 |
13 |
19 |
9 |
13 |
19 |
9 |
21 |
||||||||
67 |
14 |
28 |
3 |
11 |
29 |
30 |
11 |
29 |
30 |
27 |
||||||||
68 |
25 |
25 |
1 |
30 |
26 |
4 |
30 |
26 |
4 |
2 |
||||||||
69 |
18 |
20 |
18 |
17 |
1 |
10 |
17 |
1 |
10 |
8 |
||||||||
70 |
12 |
23 |
17 |
10 |
8 |
10 |
10 |
8 |
10 |
8 |
||||||||
71 |
14 |
11 |
10 |
18 |
5 |
25 |
18 |
5 |
25 |
7 |
||||||||
72 |
15 |
12 |
21 |
4 |
19 |
10 |
4 |
19 |
10 |
7 |
||||||||
73 |
28 |
16 |
9 |
22 |
10 |
5 |
22 |
10 |
5 |
23 |
||||||||
74 |
6 |
21 |
5 |
9 |
19 |
23 |
9 |
19 |
23 |
9 |
||||||||
75 |
11 |
2 |
18 |
19 |
20 |
7 |
19 |
20 |
7 |
15 |
||||||||
варіант |
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
№6 |
№7 |
№8 |
№9 |
№10 |
||||||||
76 |
6 |
13 |
26 |
23 |
20 |
18 |
23 |
20 |
18 |
3 |
||||||||
77 |
18 |
16 |
10 |
14 |
30 |
1 |
14 |
30 |
1 |
16 |
||||||||
78 |
7 |
18 |
24 |
9 |
13 |
17 |
9 |
13 |
17 |
27 |
||||||||
79 |
10 |
18 |
25 |
10 |
4 |
25 |
10 |
4 |
25 |
30 |
||||||||
80 |
2 |
11 |
8 |
29 |
30 |
9 |
29 |
30 |
9 |
8 |
||||||||
81 |
6 |
16 |
9 |
10 |
15 |
2 |
10 |
15 |
2 |
15 |
||||||||
82 |
14 |
6 |
6 |
26 |
24 |
21 |
26 |
24 |
21 |
21 |
||||||||
83 |
1 |
6 |
3 |
3 |
27 |
29 |
3 |
27 |
29 |
7 |
||||||||
84 |
2 |
30 |
11 |
12 |
29 |
21 |
12 |
29 |
21 |
10 |
||||||||
85 |
23 |
6 |
5 |
12 |
16 |
20 |
12 |
16 |
20 |
20 |
||||||||
86 |
12 |
29 |
11 |
18 |
7 |
21 |
18 |
7 |
21 |
1 |
||||||||
87 |
14 |
12 |
26 |
19 |
1 |
8 |
19 |
1 |
8 |
11 |
||||||||
88 |
25 |
15 |
2 |
16 |
5 |
30 |
16 |
5 |
30 |
4 |
||||||||
89 |
19 |
25 |
22 |
19 |
12 |
3 |
19 |
12 |
3 |
18 |
||||||||
90 |
13 |
10 |
3 |
22 |
25 |
24 |
22 |
25 |
24 |
25 |
||||||||
91 |
12 |
11 |
2 |
23 |
1 |
25 |
23 |
1 |
25 |
29 |
||||||||
92 |
6 |
26 |
10 |
13 |
17 |
4 |
13 |
17 |
4 |
26 |
||||||||
93 |
12 |
28 |
19 |
17 |
12 |
9 |
17 |
12 |
9 |
7 |
||||||||
94 |
22 |
19 |
15 |
24 |
14 |
18 |
24 |
14 |
18 |
22 |
||||||||
95 |
19 |
26 |
26 |
29 |
19 |
27 |
29 |
19 |
27 |
26 |
||||||||
96 |
15 |
18 |
25 |
25 |
30 |
14 |
25 |
30 |
14 |
17 |
||||||||
97 |
7 |
30 |
21 |
1 |
11 |
22 |
1 |
11 |
22 |
17 |
||||||||
98 |
18 |
14 |
20 |
24 |
3 |
22 |
24 |
3 |
22 |
6 |
||||||||
99 |
22 |
1 |
19 |
8 |
8 |
16 |
8 |
8 |
16 |
29 |
||||||||
100 |
8 |
25 |
7 |
11 |
21 |
30 |
11 |
21 |
30 |
16 |
||||||||