16)Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Опр.1 Непрерывные называется СВ которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Опр.2 Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцирована всюду кроме быть может отдельных точек.

Теорема: Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывно случайных величин равна 0. Следствие. Если Х – НСВ, то вероятность попадания ее в интервал (х1,х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым . т.е. Р(х1≤Х< х2)=Р(х1<Х≤х2)=Р(х1<Х<х2)=Р(х1≤Х≤х2). Плотностью вероятности, или плотностью распределения, или просто плотностью НСВ Х называется производ.ее функции распределения.т.е ℓ(х)=Ϝ¹(х) или (Ϝ(х)=Ϝ(х))

Про случайные величины говорят, что она имеет распределение с плотностью ℓ(х) на определённом участке действительной оси. Плотность вероятности ℓ(х), в отличии от функции распределения Ϝ(х), существует только для НСВ.

Свойства плотности вероятности: F(х): 1.ℓ(х)≥0

2.Вероятность попадания НСВ в интеграл [а,в] равна определенному интегралу от плотности по отрезку а,в, т.е. Р(а≤Х≤в)=ʃₐᵒℓ(х)dx

3.Функция распределения НСВ может быть выражена через плотность вероятности по формуле F(х)=с тетради списать

4.Справедливая формула тоже с тетради

17)Другие числовые характеристики св.

Определение: Модой Мₒ(Х) СВ Х назыв-ся ее наиболее вероятное значение , т.е. значение для которого вероятность рi или плотность ℓ(х) достигает max

Определение: Если вероятность или плотность вероятности достигает max не в одной, а в нескольких точках, то распределение называется полимодальным.

Тут рисунок 1 рисунок 2

Опр: Мода Мₒ(Х), при которой вероятность pi или плотность ℓ(х)достигает глобальны max, наз-ся наивероятнейшим значением СВ( на рис 1)

Опр: Медианой Мₑ(Х) СВ Х наз-ся также ее значение, для которого Р(х<Нₑ(Х))=Р(х˃Мₑ(Х))=1/2. Геометрически вертикальная прямая х=Мₑ(Х)делит площадь фигуры под кривой распределения на 2 равные части (рис2).

В точке х=Мₑ(Х) функция распределения равна ½, т.е. F(Мₑ(х))= ½. (рис 3)

Рисунок 3 с тетради

Формулы для вычисления моментов для дискретно СВ , принимающая значение Хi с вероят. Рi и для НСВ с плот вероятности ℓ(х) приведена в таблице

Моменты	Случайные величины Дискретная Непрерывная
Начальный	С тетради
Центральный

18. Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Биномиальное распределение

Опр. ДСВ Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p,если она принимает значения 0,1,2,...,m,...,n с вероятностью Р(Х=m)= С *p *q , где 0<p<1, q=n*p.

Теорема. М(Х)=n*p, D(X)=n*p*q, Мо(Х)-целое число, находится из неравенства np-q<Mo(X)<np+q

2. Закон распределения Пуассона

Опр. ДСВ Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ>0, если она принимает значения 0,1,2,...,m... с вероятностями P(X=m)=

Теорема. М(Х)=λ, D(X)=λ при p стремящемся к 0, n стремящемся к бесконечности, λ=n*p=const. закон распределения является предельным случаем биномиального закона. Т.к вероятность Р мала, то закон распределения Пуассона называют законом редких явлений.

3. Геометрическое распределение.

Опр. ДСВ Х=m имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,...m,... с вероятностями P(X=m)=p*q ,где 0<p<1, q=1-p.

Вероятность рi образует геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. Случайная величина Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли с вероятностью р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Теорема. М(Х)=1/p, D(X)=1/p-в квадрате.