7)Полная группа событий. Формула полной вер-сти.

Следствием теоремы сложения и теоремы умножения яв-ся формула полной вер-сти и формула Байеса.

Набор событий H1, H2, H3 ... н-ся полной группой группой событий, если P(H1+ H2+ H3 + …)=1 Пусть мы имеем полную группу несовместных событий H1, H2, H3 определяющих варианты условий, в которых может осуществляться опыт по воспроизведению некоторого соб-я A, то соб-я H1, H2,H3 н-ся гипотезами. Каждой гипотезе будет соответствовать своя усл.вер-ть соб-я A: P(A/H1)

Теорема если событие А может произойти только при условии появления одного из событий(гипотез) H1, H2, H3-полная группа попарно несовместных событий то вероятность соб-я А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих соб-ий(гипотез)на соответствующие условные вер-ти события А (формула полной вероятности)

8)Формула Байеса. переоценки вероятностей гипотез. ее практическое значение.

Пусть событие В происходит одновременно с одним из n несовместных событий A1 A2 А3. Требуется найти вероятность события Aj, если известно, что событие B произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

Откуда или

формула Байеса

9) Формула Бернулли и Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.

Теорема Бернулли. Если вероятность р появления события А постоянно, то вер-ть Pm,n того что соб-е А произойдет m раз в n независимых испытаниях Бернулли равна -формула бернулли где g=1-p

Число m₀ наступления соб-я А в n независимых испытаниях н-ся наивероятнейшими, если вер-ть осуществления этого события Рm₀,n по крайней мере не меньше вероятностей других событий P m,n при любом m это число нах-ся np-g≤m0≤np+p

Вычисления при больших испытаниях n сопряжено с трудностями вычислений поэтому имеется др формула-формула Пуассона.

Теорема Пуассона: если вер-ть р наступления соб-я А в каждом испытании стремится к 0(р→0)при неограниченном увеличении числа испытаний (n→∞)при чем произведение np стремится к постоянному числу λ(np→ λ) то вероятность Pm,n того что соб-е A появляется n раз в независимых испытаниях = где .

Причем будем полагать что λ= np≤10

10)Локальная и интегральная теоремы муавра-лапласса (дописать формулы).

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рm,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна

Pm,n= f(x) локальная формула

√npq

Где f(x)= _1___e(в степени -х²/2)

√2π

x= m-np

√ npq

Интегральная теорема м-лапласса:

Если вер-ть p наступления соб-ия А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то вер-ть того что число m наступления соб-ия А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно) при достаточно большом числе n приближенно равно

Pn (a≤m≤b) =½[Ф(х2)-Ф(х1)] где

х

F(x)= __1___∫ е (в степени –t ²/2) Таблица в конце книги. Знач-я до х=5.

√2π 0

x1= a-np x2= b-np

√npq √npq

Следствие интегральной теоремы муавра-лапласса: если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1 то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того что:

а)число m наступлений события Aотличается от произведения np не более чем на величну ε>0(по абсолютной вел-не), т.е

Pn(|m-np|≤ ε)приближенно =Ф(____ε ____)

√npq

б)частность m события А заключена в преде

n

лах от α до β включительно т.е

Pn (α ≤m≤ β) =½[Ф(z2)-Ф(z1)]

n

где z1= α-p__ z2= b-p__

√pq/n √pq/n

в) частность события m события А

n

отличается от его вер-ти p более чем на вел-ну ∆>0(по абсолютной вел-не)т.е

Pn (|m-p|≤)приближенно= Ф(∆√n)

n √pq