39) Линейные ду первого порядка

Лин ДУ I порядка – это ур-ния вида:

А(х)y`+Bx(y)=C(x), где А не=0. Разделив это ур-ние на А(х) получим: у`+P(x)y=f(x) (1)

Будем искать решение в виде произведения 2-х ф-ций y=uv, где u=u(x), v=v(x), у`=u`v+uv` ,

в ур-ние (1) подставим у и у` и получим : u`v+v`u+P(x)uv=f(x),

u’v+u(v’+p(x)v)=f(x) (*)

Подберем фун-ию v т. о. Что бы выраж. В ()обратилось в 0 v’+p(x)v=0 => dv/dx=-p(x)v => dv=-p(x)vdx => получ ур-ние с раздел. перем. Разделим на v: dv/v=-p(x)dx

Линейные ДУ второго порядка.

A(x)y'' + B(x)y' + K(x)y=ƒ(x) , где А(х) не≡ 0

A(x), B(x), K(x), ƒ(x) – непрерывны на некотором множестве, если ƒ(x)≡0, то урав-ние называется линейным однородным уравнением. Если ƒ(x)не≡0, то урав-ние называется неоднородным.

40) Ряды. Основные понятия.

Рассмотрим числовую последовательность a₁,a₂,a₃…a_{n ,} a_n R

a ₁+a₂+a₃+…+a_n +…= - числовой ряд, a_n – общий член р яда

Пусть S₁=a₁

S₂=a₁+a₂ n-частичные суммы

………..

S_n= a₁+a₂+a₃+…+a_n

Частичные суммы образуют последовательность.

Определение. Суммой ряда называют S=lim S_n , если он с уществует, если он не существует или равен бесконечности, то ряд расходится.

Геометрическая прогрессия:

a+aq+aq²+…+aqⁿ+…

S_n=a+aq+…+aq^n-1

qS_n=aq+aq²+…+aqⁿ

S_n-qSn=a-aqⁿ

S=lim S_n= lim

1.Если <1, то ряд сходится и S=lim S_n= lim

2.Если 1,то ряд расходится

41) Свойства сходящихся рядов

1)Cв-ва: (1)

1.Если (1) сходится,и его сумма равна S, то и ряд

, также сходится и его сумма равна cS.

2.Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и ,то

ряд также сходится и его сумма равна

2)Признак:Если ряд(1) сходится,то его n-й член стремится к нулю при

, т.е.

Док-во:

Следствие из признака:Если n-й член ряда не стремится к нулю при то ряд расходится.

42) Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд а_n сходится, a_n=0

Доказательство:

S_n = a₁+a₂+…+a_n , S_n-1 = a₁+a₂+…+a_n-1, следовательно an = S_n-S_n-1 = a_n = S_n – S_n-1 = S-S=0, ч.т.д.

Следствие:

Если a_n не равно нулю, то ряд расходится.

Доказательство:

Если предположить в этом случае, что ряд сходится, то из необходимого признака следует, что a_n = 0, что противоречит условию.

Гармонический ряд.

1+1/2+1/3+…+1/n+…

гармонический ряд расходится.

43) Сходимость рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости.

Р яды: (1)  (2) Первый признак сравнения: Если для n ≥ n0 un ≤ vn и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1). Если для n ≥ n0 un ≥ vn и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1). Второй признак сравнения: Если существует конечный и отличный от нуля предел  , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом. Для сравнения часто используются ряды: 1. Ряд   (|q| < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся. 2. Ряд Дирихле   сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1 В случае p=1 имеем гармонический ряд:  Гармонический ряд расходится. Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины   и   эквивалентны при n→∞ ( ∼ , n→∞), т.к. в этом случае l=1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции») Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

44)Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.

Пусть задан знакопеременный ряд

∞

a ₁+a ₂+ ... +a _n +…= ∑ a _n , (1)

n=1

где числа а₁, а₂, … , а _n , ... могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

∞

|а₁|+|а₂|+…+|а _n|+…=∑ |a _n| (2)

n=1

Определение 41.1. Если сходится ряд (2), то ряд (1) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно (или неабсолютно) сходящимся.

Теорема 41.1. Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (1) сходится абсолютно. Это значит, что сходится ряд (2). Обозначим через S _n частичную сумму ряда (1), а через δ _n – частичную сумму ряда (2)

S _n= a ₁+a ₂+ ... +a _n ,

δ _n=|а ₁|+|а ₂|+…+|а _n| .

Так как ряд (2) сходится, то последовательность { δ _n } его частичных сумм имеет предел lim δ _n = δ , причем

n→∞

δ _n ≤ δ для любых n, (3)

поскольку члены ряда (2) положительны. Обозначим через S_n’ сумму положительных членов, а через S_n” – сумму абсолютных величин отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n . Тогда

S_n= S_n’ - S_n” , (4)

δ_n = S_n’ + S_n” . (5)

Из равенства (5) следует, что { S_n } и { S_n” } монотонно возрастают при возрастании n, а из (3) – что они являются ограниченными: S_n'≤ δ_n ≤ δ ,

S_n” ≤ δ_n ≤ δ .

Следовательно, существуют пределы

lim S_n’ = S’, lim S_n” =S”.

n→∞ n→∞

Тогда в силу равенства (4) последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

lim S_n= lim (S_n’- S_n”) = lim S_n’ – lim S_n” = S’ – S” ,

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

а это значит, что ряд (1) сходится. Ч.Т.Д.