24) Интегралы от некоторых классов тригонометрических функций

1) Интегр. вида ∫sin ax cos bx dx, ∫cos ax cos bx dx, ∫sin ax sin bx dx, где a ≠b, находятся с пом. формул:

sin ax cos bx = ½ (sin(a-b)x + sin (a+b)x)

cos ax cos bx = ½ (cos(a-b)x + cos(a+b)x)

sin ax sin bx=½ (cos(a-b)x - cos(a+b)x)

25) Тригонометрические подстановки

1) Интегр. вида I = ∫R(sin x, cos x)dx, где R – рациональная функция, приводящая к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tg(x/2)=t,

x=2arctg t

dx = 2 dt/(t² +1)

sin x= 2 tg (x/2)/ (1+tg²(x/2)) = 2t/(1+t²)

cos x = (1-tg²(x/2))/ (1+tg²(x/2))= (1-t²)/ (1+t²)

Т.к. I = ∫R(2t / (1+t²), то (1-t²) / (1+t²)) 2dt / (1+t²)

Эта подстановка является универсальной для интегралов этого типа.

2) Интегралы вида I = ∫sin^mx cosⁿx dx, где m и n – целые (не обязательно положительные) числа, если

1) n – целое, нечетное, >0, то заменяем sin x = t;

2) m - целое, нечетное, >0, то заменяем cos x = t;

3) m + n - четное, то заменяем tg x = t.

1. 3) , x=a

х=а

2. 4) , x=a (это тангенс)

3. x=a (котангенс)

4. 5) , х=

5. x=

7. dx=

8. dx= d(nx)

26)Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка [а, b] на частичные и выбора точек α_i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.

27) Задача о площади криволинейной трапеции

y=f(x) – [a; b], f(x)≥0

Найти S:

Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.

Эти точки xk – разбиение [a;b].

Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck

f(ck),k=0,…n-1

Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)

xk-xk-1=∆xk

(1)

Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.

Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.

Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:

Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка [а, b] на частичные и выбора точек α_i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.

28) Основные свойства определенного интеграла (с доказательством).

Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:

1.

2.

3. С=const

4. для любых a, b, c

5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>

6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то

7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=min f(x), M=max f(x), тогда имеют место неравенства:

8.Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).