7)Предел функции. Непрерывность функции.

Число А называется пределом функции f(x,y), при x→xo, y→yo, если для любой последовательности точек ∀(xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А.

=A.

Если =f(х₀,у₀), то функция f(x,y) называется непрерывной в точке (х₀,у₀).

Св-ва пределов:

1. арифметические операции

2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. ε-окрестности т. Ро

3. Если , то сущ. такая . ε-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).

Непрерывна на мн-ве D , если она непрерывна в каждой т., этого мн-ва.

Св-ва непрерывности:

1. сумма произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции

2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е

3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.

8 ) Частные производные функции двух переменных

Частным приращением функции z по переменной x в точке M0(x0,y0) называется разность

Δ(x)z=f(x0+Δx,y0)-f(x0,yo)

Частной производной функции z=f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0) называется предел (если он существует) отношения частного приращения функции z по x (т.е. Δ(x)z/) к вызвавшему его приращению независимой переменной( Δx) , когда Δx→0: f’(x0,y0)=lim(Δ(x)z/Δx)

Для нахождения частных производных функции z=f(x,y) следует запомнить правило: при вычислении частной производной по x считаем y постоянной и пользуемся правилом дифференцирования функции одной независимой переменной; при вычислении частной производной по y считаем x постоянной и пользуемся этими же правилами дифференцирования (производная постоянной равна нулю; постоянный множитель выносится за знак производной и т.д.).

Полным приращением функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) называется разность Δ z(M0)=f(x0+Δx,yo+Δy)-f(x0,y0)

9 )  или   – вторая производная по «икс»  или   – вторая производная по «игрек»  или   – смешанная производная «икс по игрек»  или   – смешанная производная «игрек по икс»

10) Полный дифференциал функции нескольких переменных:

1.функция z = f (x,y) называется дифференцируемой в точке М₀(х₀,у₀) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в следующем виде: ∆z = А∆x+В∆y+α(∆x,∆y)∆x+β(∆x,∆y)∆y (*), где А, В – независимые от ∆x и ∆y числа, α(∆x,∆y) и β(∆x,∆y) – бесконечно малые функции при ∆x→0, ∆y→0. То выражение (x y)dx + (x,y)dy, где dx=∆х, dy=∆у называется главной линейной частью полного приращения ∆z относительно ∆x и ∆y.полный дифиринциал ф-ции z обозначается dz = (x,y)dx + (x,y)dy, где dx=∆х, dy=∆у.

.

11)Применим полный дифференциал к приближенным вычислениям. При достаточно малых по абсолютной величине Δх и Δy, приращение функции Δf≈df.

Полный дифференциал можно использовать для приближенных вычислений значений функции.

∆z=f(M)-F(M₀)

∆z≈dz

f(x₀+∆x, y₀+∆y) ≈f(x₀, y₀)+ ∂z/ ∂x * Δx +∂z/ ∂y* Δy

12) Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

Необходимость существования экстремума: Если f(x,y) в точке Po(xо,yо) имеет экстремум и в этой точке существуют конечные частные производные, то они равны 0. ∂f / ∆x(x₀,y₀)=0

Достаточные условия существования эксремума функции 2-х переменных: Если точка (х₀,у₀) – точка экстремума функции z=f(x,y) и в ней существуют обе частные производные, то производные в точке (х₀,у₀) равны нулю.

=0 =0