1) Признаки монотонности функции.

Убыв. и возраст. ф-ии назыв. монотонностью.

Изучим условия возрастания (не убывания) и убывания (не возрастания) функций. Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)>f(x1). Функция называется убывающей на промежутке, если из x2>x1 следует f(x2)<f(x1).

Функция y=f(x) называется неубывающей на промежутке, если из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)>=f(x1), и невозрастающей, если из условия x2>x1следует f(x2)<=f(x1).

ТЕОРЕМА: Условия возрастания (убывания) монотонной функции: Если f’(x)>0 на промежутке X, то функция y=f(x )возрастает на этом промежутке, если f’(x)<0 на промежутке X, то функция y=f(x) убывает на этом промежутке.

2)Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.

Функция Y=f(x) явл дважды диф на интервале (a,b) называется выпуклой(вогнутой) на этом интервале, если график этой функции лежит ниже(выше) любой ее касательной на этом интервале.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

Cхема исследования функции на выпуклость: 1)Найти вторую производную функции; 2) найти точки, в которых вторая производная равна нулю или обращается в бесконечность; 3) исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба; 4) найти значения функции в точках перегиба.

3) Необходимое и достаточное условие экстремума функции.

Определение. Точка называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки, что для всех х из этой окрестности f(x) ≤ f(x0).

Определение. Точка называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки, что для всех х из этой окрестности f(x) ≥ f(x0).

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами (extremum – крайний).

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- точка max

- если с “-” на “+”, то х₀- точка min

Схема исследования функции на экстремум: 1) найти производную f'(x); 2) найти критические точки, т.е. такие значения х, в которых или f’(x) 0 или f’(x)=∞; 3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе через критическую точку производная f'(x) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если знак f'(x) меняется с минуса на плюс, то в точке x0 функция f(x) имеет минимум Если при переходе х через критическую точку знак f'(x) не меняется, то в точке x0 функция f(x) не имеет ни максимума, ни минимума; 4) найти значения функции в экстремальных точках

4) Асимптоты графика функции.

Прямая, к которой приближается график ф., но никогда не пересечёт её, называется асимптотой графика ф. Пусть y=kx+b называется асимптотой графика ф. f(x), при , если . Коэффициент k и b вычисляются

; . Таким образом определяются горизонтальные и наклонные асимптоты. об условиях существования наклонной асимптоты) Если для функции существуют пределы lim(f(x)/x)=k и lim(f(x)-kx)=b то функция имеет наклонную асимптоту y =kx+b при . x→∞

Чтобы определить вертикальную асимптоту, необходимо исследовать функцию в точке разрыва. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если или .

5) Общая схема построения графика с полным исследованием функции

1. ОДЗ=Д(f)

2. Четность f(-x)=f(x), нечетность f(-x)=f(x), периодичность f(x+T)=f(x)

3. Исследовать на непрерывность, определить точки разрыва и их характер, исследовать вертикальные асимптоты. Определяем поведение функции на концах области определения. Ищем наклонные и горизонтальные асимптоты, если они есть.

4. Исследование функции с помощью первой производной. Ищем интервалы возрастания, убывания, экстремумы.

5. Ищем точки пересечения графика функции с осями координат

6. Исследование функции с помощью второй производной. Ищем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции

7. Для уточнения графика функции вычисляем несколько точек произвольным образом на графике

6) Понятие функции нескольких переменных (область определения, предел, непрерывность).

Если в каждой упорядоченной паре точек ∀(x,y)∈D ставится в соответствии число Z принадлежащее G по некоторому правилу f , то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве G, при этом пишут, что f: D→G.

Множество D называется областью определения функции, множество G, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)∈D ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: G=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости.

Функцию z=f(x,y) называют функцией двух переменных, а переменные х и у – независимыми переменными.

( для понимания: Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных   (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной   (функции).)