Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки задано уравнением х= А + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 1 м/с, C = –0,5 м/с³. Найти координату х, скорость _x и ускорение а_x точки в момент времени t = 2 с.

Решение

x = А + Bt + Сt3 A = 2 м B = 1 м/с C = – 0.5 м/с3 t = 2 c	Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, и С и времени t: x = (2 + 1·2 – 0.5·23) м = 0. Мгновенная скорость по отношению к оси х – это первая производная от координаты по времени .
x – ? x – ? ax – ?

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени .

В момент времени t = 2c: _x = (1 – 3·0.5·2²) м/с = –5 м/с;

a_x = 6·(–0.5)2 м/с² = –6 м/с².

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону  = A + Вt + Сt², где A = 10 рад, В = 20 рад/c, C = –2 рад/с². Найти полное ускорение точки, которая находится на расстоянии r = 0.1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Решение

 = А + Bt + Сt2 А = 10 рад B = 20 рад/с С = –2 рад/с2 r = 0.1 м t = 4 с	Полное ускорение точки a, которая движется по окружности, находится как геометрическая сумма тангенциального ускорения a, направленного по касательной к траектории и нормального ускорения an, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1.1): . Т.к. векторы a и an взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения . (1)
a – ?

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами , a_n = ²r,

где  – модуль угловой скорости тела, – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения a_ и a_n в формулу (1), найдем

. (2)

Угловую скорость  найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

= B + 2Ct.

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

 = 20 + 2(–2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2С = –4 рад/с².

Подставляя значения , и r в формулу (2), получим

.

Пример 3. Ледяная гора составляет угол 30 с горизонтом. По ней пускают снизу вверх небольшой предмет, который за 2 секунды проходит расстояние 16 м, после чего соскальзывает вниз. Найти коэффициент трения между предметом и поверхностью и время соскальзывания.

Решение

30	Это одна из задач на движение тел вдоль наклонной плоскости. В ней требуется и кинематический, и динамический анализ условия. Рассмотрим один из вариантов решения. При движении вверх скорость уменьшается до нуля в верхней точке, предмет движется равнозамедленно прямолинейно.

При движении вниз начальная скорость равна нулю, предмет движется равноускоренно. Путь, пройденный предметом, в обоих случаях одинаков и выражается следующим образом:

, ,

где и – ускорение и время при движении вверх, и – то же при соскальзывании.

Приравняв правые части уравнений, получим , то есть ускорения и квадраты времени движения связаны обратно пропорциональной зависимостью. Выразим отношение ускорений:

(1)

из этого соотношения можно выразить искомое время через отношение ускорений, для этого нужно провести динамический анализ движения.

Следует учесть и показать на рисунках все силы, действующие на предмет при движении вверх (рис. 1.2) и вниз (рис. 1.3) в некоторой промежуточной точке. Векторы всех сил будем считать приложенными в одной точке – центре тяжести предмета.

Рис. 1.2.	Рис. 1.3.

В обоих случаях предмет взаимодействует с Землей и плоскостью, при этом на него действуют: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения , направленная противоположно направлению движения. Длина отрезка, изображающего каждую силу, на рис. 1.2 и 1.3 должна быть одинакова. Равнодействующая сил в обоих случаях направлена вдоль наклонной плоскости вниз; согласно закону Ньютона так же направлено ускорение:

.

Свяжем систему отсчета для обоих случаев движения с неподвижной точкой, ось Ox направим вдоль ускорения, ось Oy – перпендикулярно к ней. Система отсчета приведена на рис. 1.2.

Запишем II закон Ньютона в векторной форме для движения вверх:

,

Спроектируем все члены уравнения на оси:

(2)

. (3)

При небольших скоростях сила трения скольжения прямо пропорциональна силе, прижимающей движущийся предмет к поверхности :

, (4)

где – коэффициент трения.

Выразив из (3) и подставив в уравнение (2), получаем:

. (5)

Запишем далее II закон Ньютона в векторной форме для движения вниз:

,

в проекциях на оси:

ось : , (6)

ось : . (7)

После преобразований, аналогичных предыдущим, получим:

. (8)

Выразив из уравнения (5) и из уравнения (8), имеем:

. (9)

Приравняем правые части уравнений (1) и (9):

,

откуда искомое время .

Неизвестный здесь коэффициент трения выразим из уравнения (5) с учетом того, что . Получим:

.

Здесь все известно. Наименования единиц всех членов правой части выражения одинаковы, в результате получается безразмерное число.

Производим вычисления:

.

Получено число, удовлетворяющее условию задачи, оно меньше единицы, как и должно быть.

.

Время соскальзывания больше времени движения вверх, что следует из соответствующего соотношения ускорений.

Пример 4. Шар массой m₁, который движется горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Удар абсолютно упругий, прямой, центральный. Какую часть своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение

m1 m2	Часть энергии, переданная первым шаром второму выражается соотношением , (1) где Wk1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u2 и Wk1 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Ε – ?

Как видно из формулы (1), для определения необходимо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Следовательно

, (2)

. (3)

Решив совместно уравнения (2) и (3) имеем

.

Подставив выражение для u₂ в формулу (1), получим

.

Из соотношения видно, что часть переданной энергии зависит только от массы столкнувшихся шаров.

Пример 5. Через блок в виде цельного диска, масса которого m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы. Трением и массой нити пренебречь.