V. Физика твердого тела Элементы кристаллографии

Молярный объем кристалла

,

где М – молярная масса вещества; – плотность кристалла.

Объем V элементарной ячейки в кристаллах:

при кубической сингонии

;

при гексагональной сингонии

.

Здесь а и с – параметры решетки.

Число Z_m элементарных ячеек в одном моле кристалла

или ,

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения; N_А – число Авогадро; п – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла

, или в общем случае ;

для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k = 1), .

Параметр а кубической решетки

.

Д ля обозначения узлов, направлений и плоскостей в решетке вводятся специальные индексы.

Индексы узлов в кристаллической решетке записывают в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус.

Индексы направлений записываются в одинарных квадратных скобках [mnp]. Индекс направления совпадает с индексом узла, через который проходит прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] (рис. 5.1).

Угол между прямыми [т₁п₁р₁] и [т₂п₂р₂] в кубической решетке выражается формулой

.

Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круглых скобках (hkl). Изменение всех индексов на обратные отвечает тому же семейству плоскостей.

Индексы Миллера связаны с минимальными отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях координат.

Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1/h;l/k;1/l) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные значения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат.

Свойства твердых тел

Упругая линейная продольная деформация. Нормальную силу F_n, отнесенную к площади поверхности тела S, называют механическим напряжением ( ). Если напряжение распределено равномерно по сечению стержня (см. рис. 5.2), то

.

Р азмерность напряжения в СИ – [ ] = 1 Н/м² = 1 Па. В технических единицах используют размерность [ ] = 1 кГ/мм² или кгс/мм², где 1 кГ (или 1 кгс) = 9.8Н.

Относительная деформация продольного растяжения или сжатия образца имеет вид

,

где  – начальная длина образца,  длина образца после приложения растягивающей силы, – абсолютная деформация образца.

Закон Гука: чем больше деформация тела , больше механическое напряжение .

Для линейной упругой продольной деформации закон Гука имеет вид:

,

где Е – модуль упругости (или модуль Юнга).

Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров тела . Относительная деформация поперечного растяжения или сжатия образца цилиндрической формы имеет вид:

,

где – абсолютная поперечная деформация.

Коэффициент Пуассона – это отношение к :

.

Потенциальная энергия упругой деформации тела имеет вид:

,

где V – объем тела.

Плотность энергии равна .

У пругая деформация сдвига. Сила, направленная по касательной к площади грани (рис. 5.3), называется тангенциальной . При равномерном распределении силы по всей поверхности грани площадью S в любом сечении, параллельном ей, возникает тангенциальное напряжение

.

Величина   – называется абсолютной сдвиговой деформацией. Из треугольника ВВ₁А относительная сдвиговая деформация при малых углах сдвига

.

Закон Гука для упругой деформации сдвига устанавливает связь между и :

,

где G – модуль сдвига.

Потенциальная энергия деформированного тела через модуль сдвига имеет вид:

.

Тепловое расширение твердых тел. Тела при нагревании расширяются по законам:

для объемного расширения ,

где – объем тела при 0С, а V – при температуре tС;

для линейного расширения ,

где – длина тела при 0С, а l – при температуре tС.

и  – коэффициенты линейного и объемного теплового расширения

.

С учетом закона Гука для продольной линейной деформации между механическим напряжением и перепадом температур ∆Т имеется следующая связь

,

где Е – модуль упругости, – коэффициент линейного расширения.

Фононы – кванты колебаний атомов кристаллической решетки. Фононы – квазичастицы с квазиимпульсом и энергией , где h – постоянная Планка, и – длина волны и частота акустических колебаний.

Фононы ответственны за теплоемкость, теплопроводность и скорость движения звука через твердые тела.

Скорость звука связана с коэффициентом теплопроводности К и теплоемкостью кристалла

,

где – средняя длина свободного пробега фононов.

Скорость звука в твердых телах связана с упругими свойствами.

Скорость распространения продольных волн равна

,

а поперечных волн

,

где E, G – модули упругости и сдвига,  – плотность.

Теплоемкость твердых тел. В общем случае общая теплоемкость твердых тел , в основном, состоит из решетчатой и электронной составляющих:

.

Для неметаллов основной вклад в общую теплоемкость вносит решетчатая составляющая, а для металлов – решетчатая и электронная составляющие.

Закону Дюлонга-Пти: молярная теплоемкость твердых тел есть величина постоянная, одинаковая для всех веществ и независящая от температуры

,

где R – универсальная газовая постоянная.

Для химически сложных веществ, состоящих из различных атомов закон Дюлонга-Пти записывается в виде

– закон Неймана-Коппа,

где – общее число атомов в химической формуле соединения.

Закон Дюлонга-Пти хорошо согласуется с экспериментом лишь при высоких температурах, а с уменьшением температуры ниже резко понижается до нуля по закону

,

где – постоянная Больцмана.

Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

,

где – молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю, – характеристическая температура Дебая.

Теплопроводность твердых тел. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе теплоты Q от более горячего участка тела с температурой Т₁ к холодному участку с температурой Т₂ через площадь поперечного сечения S в течение времени dt.

.

где  – коэффициент теплопроводности , – перепад (градиент) температуры, S – площадь поперечного сечения, t – время.

В общем случае коэффициент теплопроводности  состоит из решеточной и электронной составляющих .

Для неметаллов , а для металлов – .

Поляризация диэлектриков. Поляризованность Р (при однородной поляризации) диэлектрика равна

,

где  – электрический момент отдельной (i-й) молекулы (или атома); N – число молекул, содержащихся в объеме ∆V.

Связь поляризованности с напряженностью E среднего макроскопического поля в диэлектрике

,

где – диэлектрическая восприимчивость; – электрическая постоянная.

Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью

.

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где е – заряд электрона, n – концентрация носителей заряда (электронов и дырок), и – подвижность электронов и дырок.

Эффект Холла: возникновение разности потенциалов U_H в полупроводниках и металлах в магнитном поле при пропускании электрического тока.

Напряжение U_H на гранях образца при эффекте Холла

,

где R_H – постоянная Холла; В – индукция магнитного поля, l – ширина пластины; j – плотность тока.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (п или р),

,

где n – концентрация носителей заряда.

Удельная электрическая проводимость проводника

,

где е и т – заряд и масса электрона; п – концентрация электронов; – средняя длина их свободного пробега; и – средняя скорость хаотического движения электронов.

Закон Видемана-Франца

,

где  – теплопроводность,  – удельная электропроводность, Т –температура, L – число Лоренца.

Элементы квантовой статистики. Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 К

,

где – концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от до ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при (где – энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при Т = 0 К:

,

где п – концентрация электронов в металле.

Контактные и термоэлектрические явления. Внутренняя контактная разность потенциалов

,

где и – энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов; е – заряд электрона.