Примеры решения задач

Пример. 1. Определить число n узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение

Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 5.4) и определим, скольким элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

У зел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В шести, т.е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке, узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то соответствующее структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

Пример. 2. Написать индексы направлений прямой, проходящей через узлы [[100]] и [[001]] кубической примитивной решетки.

Решение

Изобразим кубическую примитивную ячейку, отметим на ней узлы с индексами [[100]] и [[001]] и проведем через эти узлы прямую (рис. 5.5).

Если бы прямая проходила через начало координат, то индексы ее направления совпадали бы с индексами узла, ближайшего к началу координат, через который проходит прямая.

Заданная прямая не проходит через начало координат. Но этого можно достигнуть, перенеся начало координат в один из узлов, через которые проходит прямая.

Рис. 5.5.

Если перенести начало координат в узел [[100]] (рис. 5.5), то узел, лежащий на той же прямой и ближайший к выбранному началу координат, будет иметь индексы  01, а искомое направление в этом случае определится индексами  01.

Если же начало координат перенести в узел [[001]] (рис. 5.5), то соответственно индексы искомого направления будут 01 . Итак, индексы искомого направления в кристалле  01 или 01 .

Пример 3. К стальному стержню сечением 2.0 см² и длиной 0.50 м подвешен груз массой 5.0 т. Каким запасом прочности обладает стержень, если предел прочности (разрушающее напряжение) при растяжении для стали 1.25·10⁹ Па? Каково относительное удлинение стержня? Какова энергия упругой деформации стержня? Массой стержня пренебречь.

Решение

m = 5.0·103 кг l = 0.5 м S = 2.0∙10–4 м2 g = 9.8 м/с2 = 1.25·109 Па Е = 2.2·1011 Па	Запас прочности найдем по формуле , где , a , откуда . Относительное удлинение найдем по формуле . Зная деформирующую силу и абсолютную деформацию , определим энергию упругой деформации Wp: , где .
п – ?  – ? Wp – ?

Очевидно, .

Подставляя числовые данные, получим значения искомых величин:

,

,

.

Пример 4. Как велика сила, которую нужно приложить к медной проволоке сечением 10 мм², чтобы растянуть ее настолько же, насколько она удлиняется при нагревании на 20 К?

Решение

S = 10∙10–6 м2 ∆Т = 20 К Е = 1.2∙1011 Па = 1.7·10–5 К–1	Относительное удлинение проволоки или стержня под действием растягивающей нагрузки будет тем больше, чем больше напряжение от этой нагрузки в поперечном сечении проволоки и чем меньше модуль упругости (модуль Юнга) материала: .
F = ?

Отсюда найдем абсолютное удлинение проволоки:

.

По условию задачи проволока должна получить такое же удлинение при нагревании на ∆Т:

.

Приравнивая правые части равенств и решая полученное уравнение относительно F, получаем

.

Подставляя числовые значения в последнюю формулу, получим

F=l.2·10¹¹ Пa·10·10^–6 м²·17·10^–6 К^–1 20 К ≈ 410 Н.

Ответ: растягивающая нагрузка равна 410 Н.

Пример 5. Определить количество теплоты , необходимое для нагревания кристалла NaCl массой т = 20 г на ∆Т = 2 К, если нагревание происходит от температуры: Дебая Θ_D и выше. Характеристическую температуру Дебая Θ_D для NaCl принять равной 320 К.