Тема 4. Интегральное исчисление.
Таблица основных неопределенных интегралов
14.
Методы интегрирования:
Правило подведения под знак дифференциала.
Правило
основано на следующем очевидном
утверждении, которое следует из
инвариантности формы первого дифференциала:
если
,
где х – независимая переменная, то верно
и равенство
,
где u=u(x)
– функция от х.
Например,
ит.п.
На практике, исходный вид вычисленных интегралов обычно имеет другую форму:
и
сведение их к табличным интегралам
обеспечивается равенством
То
есть, используется таблица производных,
прочитанная справа-налево. В первом
случае под знак дифференциала внесли
cosx,
во-втором -
.
Правило замены переменной.
Утверждение, на котором основывается предыдущее правило, но записанное в виде
,
где
- дифференцируемая функция, множество
значений которой является областью
определения функции
.
Естественно, как и ранее, мы предполагаем
существование всех указанных интегралов.
Из этой формулы следует и смысл замены
переменной: функцию
стараются подобрать так, чтобы
подынтегральное выражение
,
в полученном после преобразований
интеграле, было проще исходного.
Правило интегрирования по частям.
Дифференциал
произведения двух функций
и
определяется формулой
.
Перепишем равенство в виде
и
проинтегрируем обе части. С учетом
свойств интеграла, получим формулу
интегрирования по частям:
С
помощью этой формулы обычно вычисляются
интегралы от функций представляющих
произведение многочлена на
причем в первых трех случаях за
обозначают многочлен, а в последнем
.
Поскольку в правой части формулы вместо
функции
появляется дифференциал этой функции
,
то есть возможность получить интеграл
проще, если дифференциал функции проще,
чем сама функция. После того как сама
функция
выбрана, оставшееся под интегралом
выражение обозначаем
,
тогда сама функция
.
Определённый интеграл. Определённым называется интеграл с заданными пределами
интегрирования:
где
а-нижний
предел интегрирования, b-верхний
предел предел интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть
непрерывна на
и переменная
.
Тогда совокупность всех первообразных
для этой функции можно выразить формулой
.
Легко видеть, что
.
Откуда, заменив переменную интегрирования
снова на х, получим формулу Ньютона
–Лейбница:
Для того чтобы вычислить определенный интеграл, прежде всего вычисляется одна из первообразных F(x), затем вычисляется значение этой функции в точке b и вычитается её значение в точке а.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Заочная форма обучения почти полностью основана на самостоятельной работе учащихся с учебной литературой. Каждому учащемуся предлагается выполнить контрольную работу по курсу «Основы высшей математики».
Начинать работу необходимо с тщательного изучения данных методических рекомендаций. Далее надо подобрать необходимую литературу.
Отдельные источники рекомендованы в настоящих методических рекомендациях. Однако, в процессе написания работ можно привлечь дополнительную литературу, более углубленно рассматривающую различные аспекты темы. В случае затруднения в выборе литературы можно обратиться за консультацией к преподавателю.
Самостоятельное изучение курса следует начинать с ознакомления с программой курса. Затем следует перейти к последовательному изучению курса. При этом изучение теоретического материала и разбор типовых задач должны чередоваться с попытками самостоятельного решения задач по изучаемой теме. Признаком того, что материал полностью освоен, является умение учащегося самостоятельно воспроизводить формулировки основных определений, теорем, восстанавливать доказательства, решать задачи.
Учащийся должен выполнить контрольную работу, строго придерживаясь указанных ниже правил:
Вариант контрольной работы определяется по шифру учащегося
Контрольная работа должна быть выполнена в установленные учебным графиком сроки, написана грамотно, разборчиво, с полями для замечаний рецензента.
Ответ на теоретический вопрос должен составить по объёму 3-4 страницы ученической тетради, быть конкретным и полным, при необходимости – дополнен подтверждающими примерами.
Решения практических задач необходимо излагать подробно и аккуратно, поясняя все действия, производя ссылки на применяемые формулы и делая необходимые чертежи.
Недопустимым является сокращение слов, небрежное оформление работы.
В конце выполнения контрольной работы следует указать использованную литературу, поставить дату выполнения работы, личную подпись.
Объем контрольной работы должен составлять примерно 20-22 страницы тетрадного формата или 8-12 листов машинописного или компьютерного набора, страницы должны быть пронумерованы. Необходимо оставить 1 листок для рецензии преподавателя.
После получения прорецензированной работы необходимо внимательно ознакомиться с рецензией, с учётом замечаний и рекомендаций доработать отдельные вопросы и предъявить преподавателю при сдаче экзамена.