Тема 2. Предел функции

Число А называется пределом функции у = f(x) в точке , если для любой последовательности ( ), все члены которой принадлежат области определения функции, стремятся к , но не совпадают с ним соответствующая последовательность значений функции стремится к точке А.

Теоремы о пределах функции в точке

1° Функция в точке может иметь только один предел.

2° Если

3°

4°

5° Если

Если в точке а, то функция f(x) называется бесконечно малой(БМФ) в точке а (функция g(x) называется бесконечно большой (ББФ) в точке а)

Теорема

Если f(x) – БМФ, то - ББФ. Если g(x) – ББФ, то - БМФ.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Определение

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если:

1)функция определена в этой точке;

2)в некоторой окрестности точки существует предел функции в точке , который совпадает со значением функции в этой точке.

Т.е.

При невыполнении одного из этих условий функция терпит разрыв в точке .

Рассмотрим классификацию точек разрыва.

Точка называется точкой разрыва I рода функции f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева в точке , не равные друг другу.

Точка называется точкой разрыва II рода функции f(x) , если в этой точке правый или левый пределы не существуют или являются бесконечными.

Асимптоты графика функции

ПрямаяL называется асимптотой кривой, заданной уравнением y = f(x), если расстояние между точками кривой и прямой стремится к нулю с удалением точки на кривой от начала координат.

Существуют вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты.

х = а – вертикальная асимптота, если - точка разрыва II рода

- наклонная асимптота, если существуют конечныеk и b, которые вычисляются по формулам:

Если , то - горизонтальная асимптота.

Тема 3. Дифференциальное исчисление

Правила дифференцирования

Таблица производных основных функций

Геометрический смысл производной функции:

- производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой , а также тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Уравнение касательной, проведенной к кривой, заданной графиком , в точке М_о(х₀;у₀) с конечным угловым коэффициентом запишется так:

Из вышеизложенного видно, что наличие в точке графика функции касательной, непараллельной оси ординат (т.к. ), эквивалентно дифференцируемости функции в соответствующей точке.

Кроме касательной к графику функции в некоторой точке М_о(х₀;у₀)_, рассматривается и другая прямая, проходящая через эту точку.

Прямая, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Из определения нормали следует, что её угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной равенством, выражающим условие перпендикулярности двух прямых.

Тогда уравнение нормали запишется так:

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких , что < , имеет место неравенство .

f(х₂)

f(х₁)

Ф ункция y=f(x) называется убывающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких , что < , имеет место неравенство .

f(x₁)

f(x₂)

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком её производной.

Теорема

Для того чтобы дифференцируемая на функция y=f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно чтобы для всех х из этого интервала.

Если же для любого х из то функция y=f(x) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале.

Из теоремы следует, что для того чтобы функция y=f(x) была постоянной на , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю, называются критическими.

Точка из области определения D(f) точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такой интервал , , не выходящий из области определения D(f), что для всех х ≠ , выполняется неравенство

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумы функции.

Следующая теорема показывает, что точки экстремума следует искать среди критических точек функции.

Теорема Ферма

Если точка - точка экстремума функции y=f(x) и в этой точке существует производная, то

Свойство выпуклости (вогнутости) функции как и монотонности интуитивно понятно из геометрических представлений о графике функции:

а) б)

График а) естественно назвать выпуклым вверх, а график б) - выпуклым вниз.

Введем понятие выпуклости для дифференцируемых функций на интервале в каждой точке графика функции, в которой можно провести касательную.

Определение. Дифференцируемая на интервале (а;b) функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз), если для любого и х из этого промежутка справедливо неравенство: ( )

Т.е. дифференцируемая функция выпуклая вверх (вниз) на (а;b) если все точки графика функции лежат не выше (не ниже) касательной, проведенной к графику функции в любой точке из (а;b).

Теорема(достаточное условие выпуклости функции)

Пусть функция у=f(x) определена и дважды дифференцируема на (а;b), существует тогда если >0 на(а;b), то на этом промежутке функция выпуклая вниз (вогнутая), если <0, то на этом промежутке функция выпуклая вверх (выпуклая).

Определение. Точка из D(f) функции f(x) называется точкой перегиба, если:

1.в этой точке функция непрерывна;

2.существует интервал (а;b), такой, что на интервалах направления выпуклости противоположны, т.е. в точке выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот.

Теорема. (необходимое условие точки перегиба)

Пусть дана функция у=f(x) дважды дифференцируемая на (а;b). Если в точке график имеет перегиб и существует конечная вторая производная , то =0.

Наиболее полное исследование функции и построение её графика можно провести по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Четность, периодичность.

3. Исследовать функцию на непрерывность: наличие точек разрыва, их характеристика; асимптоты графика.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат.

5. Определить критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, а также экстремумы функции.

6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7. Построение графика.