Затухающие колебания

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания затухают – их амплитуда постепенно уменьшается.

При небольших скоростях движения силы, вызывающее затухание колебаний, пропорциональны величине скорости . Эти силы называют силами сопротивления (трения):

, (8)

где - коэффициент сопротивления.

Знак минус указывает, что сила сопротивления всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения.

Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний тела:

или (9)

Решив это дифференциальное уравнение, получим уравнение затухающих колебаний материальной точки:

, (10)

где - амплитуда затухающего колебания;

- амплитуда в начальный момент времени ( =0);

- основание натуральных логарифмов;

- коэффициент затухания, связанный с коэффициентом сопротивления и массой соотношением:

(11)

Скорость затухания колебаний оценивается величиной , которая называется логарифмическим декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т:

(12)

Выясним физический смысл величин и . Пусть за время амплитуда колебаний уменьшается в раз. Тогда , отсюда = 1 или .

Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени , в течение которого амплитуда уменьшается в раз.

Пусть N – число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в раз.

Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть физическая величина, обратная числу колебаний , по истечении которых амплитуда уменьшается в раз.

Механические волны

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебания этих частиц передается силами упругости соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Процесс распространения колебаний в среде называется волной. Основное свойство всех волн, независимо от их природы, состоит в том, что в волне осуществляется перенос энергии без переноса вещества.

Волны могут различаться по тому, как возмущения ориентированы относительно направления их распространения. Если колебания частиц происходят в том же направлении, что и распространение энергии, волны называются продольными. Если же колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения энергии, то такие волны называются поперечными. Продольные волны образуются в результате деформаций сжатия или растяжения. Поперечные волны возникают при деформациях сдвига. В твердых телах упругие силы возникают при деформациях растяжения, сжатия и сдвига, поэтому в твердых телах могут возникать как продольные, так и поперечные волны. В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому в газах и жидкостях механические волны могут быть только продольными.

Уравнение волны – это уравнение, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени.

Пусть источником колебания является точка О, колеблющаяся гармонически по закону:

Все частицы среды придут в гармоническое колебание с такой же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникает волна.

Тогда уравнение колебания частицы В, находящейся на расстоянии от источника колебания (т. О) запишется:

, (1)

где - время распространения колебаний от т. О до т. В, т.е. время, за которое волна проходит путь .

, где - скорость распространения волны.

Тогда уравнение (1) можно переписать:

(2)

Уравнение (2), позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени, является уравнением волны.

Основными характеристиками волн являются:

длина волны - это расстояние между двумя ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе, например, между двумя максимумами или минимумами возмущения;

период волны Т – время, за которое совершается один полный цикл колебания.

Длина волны связана с периодом Т соотношением:

, (3)

где - скорость распространения волны;

- частота волны.

Подставляя выражение (3) в (2) и учитывая, что , получим другие формулы уравнения волны:

Выражение называется фазой волны. Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми равна:

В точках, отстоящих друг от друга на целое число длин волн , разность фаз составляет четное число , т.е. колебания в этих точках протекают в одинаковой фазе – синфазно.

В точках, отстоящих друг от друга на нечетное число длин полуволн, т.е. для которых , где =1,2,…, разность фаз равна нечетному числу , т.е. . Колебания в таких точках происходят в противофазе: в то время, как отклонение в одной равно А, в другой оно равно –А и наоборот.