18. Класифікація задач схоластичного програмування

Постановка задач стохастичного програмування суттєво зале­жить від цільових засад та інформаційної структури задачі.

Одна з постановок задачі керування і, зокрема, планування за умов невизначеності та ризику полягає у наступному.

Припустимо, що вектор „х” позначає можливі рішення (альтер­нативи) з деякої апріорно допустимої множини X. Раціональний вибір рішень здійснюється з наслідків, до яких призводять ці рішення. Але наслідки рішення залежать не лише від обраного вектора   , але й від випадкових чинників (параметрів), котрі позна­чають через "ω". Значення "ω" заздалегідь невідомі. Вважають, що відома множина „Ω”, до якої належить вектор "ω". Відносно розподілу "ω"на множиш Ω можуть бути різні гіпотези. У кращому разі відомий точний закон розподілу "ω", у гіршому — лише те, що   .

Зв'язок між рішенням „х” та наслідками записують у виді функціональної залежності f(x, ω), яка називається моделлю.

Моделями можуть бути алгебраїчні співвідношення з випад­ковими параметрами, стохастичні диференційні рівняння, марковські процеси та інші.

Являє інтерес класифікація задач стохастичного програму­вання, що виникають за умов ризику та невизначеності за показником якості (ефективності) розв'язку.

Природно розглядати наступні показники якості розв'язку стохастичних задач, зокрема лінійних:

• математичне сподівання величини лінійної форми;

• дисперсія лінійної форми;

• лінійна комбінація математичного сподівання та дисперсії лінійної форми;

• ймовірність перевищення лінійною формою певного фік­сованого порогу;

• математичне сподівання корисності лінійної форми;

• максимін лінійної форми (причому максимум береться з множини планів X, а мінімум за допустимими значеннями   набору параметрів, що визначають реалізацію випадкових елементів умов задачі) тощо.

Задачі стохастичного програмування розподіляють також на статичні та динамічні.

Для того, щоб задача стохастичного програмування мала сенс, необхідно відповісти на наступні три запитання:

1. Як розуміти вектор лі? Чи повинен він також бути випад­ковим (тобто кожному "ω" відповідає своє рішення х(ω), що визначається, скажімо, стандартними правилами лінійного програмування), чи детермінованим, що не змінюється при випад­кових варіаціях параметрів моделі?

2. Як розуміти максимізацію цільової функції? Як максимізацію абсолютну, для усіх   чи максимізацію її матема­тичного сподівання, чи максимізацію деякої іншої її ймовір­нісної характеристики?

3. Як розуміти виконання обмежень: абсолютно для всіх   чи у середньому, чи допускати їх порушення з малою ймовірністю тощо?

Під час вирішення цих питань доводиться виходити не лише з математичних міркувань, а й з економічного змісту та еврис­тичних міркувань, котрими необхідно керуватися при дослід­женні та моделюванні систем з ризиком.

Постановки задач стохастичного програмування, що вини­кають при моделюванні економічного ризику, суттєво залежать від того, чи є можливість при виборі (прийнятті) рішень для уточнення стану економічного середовища через певні спо­стереження чи ні. Так, коли проводиться перспективне планування, рішення приймається перед тим, як будуть зроблені спостереження за станом середовища (скажімо, стануть відомими потреби) й рішення (розв'язок) буде детермінованим. У задачах оперативного чи поточного планування рішення приймаються після певних спостережень (експериментів) над станом економічного середовища залежно від результатів спостережень і тому бувають стохастичними (варіантними).