Решение

Х	р	X2	X2p
0	6/36	0	0
1	10/36	1	10/36
2	8/36	4	32/36
3	6/36	9	54/36
4	4/36	16	64/36
5	2/36	25	50/36

Задание 6. Рассчитайте математическое ожидание E(X²) для случайной величины Х в задании 2

Решение

Х	р	X2	X2p
1	1/36	1	1/36
2	3/36	4	12/36
3	5/36	9	45/36
4	7/36	16	112/36
5	9/36	25	225/36
6	11/36	36	396/36

Свойства математического ожидания

1.

2.

3.

4.

Пусть , тогда .

Задание 7. Пусть Х – сумма очков, выпавшая при бросании двух костей. Рассчитайте возможные значения для Y, если и далее рассчитайте E(Y). Покажите, что .

Решение

Зел. Кр.	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Х	р		Yp
2	1/36	7	7/36
3	2/36	9	18/36
4	3/36	11	33/36
5	4/36	13	52/36
6	5/36	15	75/36
7	6/36	17	102/36
8	5/36	19	95/36
9	4/36	21	84/36
10	3/36	23	69/36
11	2/36	25	50/36
12	1/36	27	27/36

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются формой средней и способами оценки отклонений от ее отдельных вариантов. К таким показателям относят: среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

_______________________________________________________________________

Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины:

_______________________________________________________________________

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дают абсолютную меру вариации. Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений, используют либо абсолютные значения отклонений, либо их четные степени, например квадраты. В последнем случае мера вариации называется дисперсией и обозначается .

Дисперсия генеральной совокупности дискретных случайных величин является полезной мерой разброса вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной Х и ее средним, т.е. , где – среднее генеральной совокупности.

Применительно к примеру с игральными костями:

Х	р
2	1/36	-5	25	25/36
3	2/36	-4	16	32/36
4	3/36	-3	9	27/36
5	4/36	-2	4	16/36
6	5/36	-1	1	5/36
7	6/36	0	0	0
8	5/36	-1	1	5/36
9	4/36	-2	4	16/36
10	3/36	-3	9	27/36
11	2/36	-4	16	32/36
12	1/36	-5	25	25/36
Дисперсия Стандартное отклонение

_______________________________________________________________________

Среднее квадратическое отклонение – это арифметическое значение корня квадратного из ее выборочной дисперсии:

_______________________________________________________________________

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные значения признака от их среднего. Выражаются в единицах измерения, поэтому легко интерпретируются. Большое значение среднего квадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленной совокупности по сравнению со средним по выборке значением.

_______________________________________________________________________

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений случайной величины от выборочного среднего значения:

_______________________________________________________________________

Причина вариации – различные условия существования отдельных единиц совокупности.

Свойства вариации:

1) если , то

2) если , то

3)

4) если , то

Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений переменной относительно среднего по выборке значения / ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость / изменчивость случайной величины. Чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины.

Если сравниваются две случайные величины, то из них, которая имеет большую дисперсию и большее среднее квадратическое отклонение, более вариабельна.

Задание 8. Дисперсия случайной величины Х равна 8. Найти дисперсию следующих величин: 1) Х–4; 2) -9Х; 3) 4Х–3.