5.8. Программное обеспечение
Ниже приведен текст подпрограммы на алгоритмическом языке FORTRAN, реализующей метод Эйлера:
Subroutine Eu(n, dt, k, Fun, t, Y)
В качестве параметров в подпрограмме используются:
n - порядок системы дифференциальных уравнений;
dt - длина отрезка интегрирования уравнений;
k - количество шагов на длине отрезка интегрирования;
Fun - имя внешней подпрограммы типа Subroutine, с помощью которой вычисляются значения вектора правой части f(t, y) системы;
t - значение аргумента системы в начале отрезка интегрирования при обращении к подпрограммам и в конце этого отрезка (t + dt) после отработки подпрограмм;
Y - массив (n элементов) значений вектора решения y(t) системы уравнений в начале отрезка интегрирования при обращении к подпрограммам и в конце этого отрезка после отработки подпрограмм.
Подпрограмма Fun оформляется в виде
Subroutine Fun(n, t, Y, F)
Dimension Y(n), F(n)
F(1) = ...........
..................
F(n) = ...........
End
Здесь F - массив значений вектора правой части f(t, y) системы уравнений.
Subroutine Eu(n, dt, k, Fun, t, Y)
Real F1(n)
h = dt/k
Do m = 1, k
Call Fun(n, t, Y, F1)
t = t + h
Do i = 1, n
Y(i) = Y(i) + h*F1(i)
End do
End do
В системе MATLAB имеется ряд функций, предназначенных для решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти функции используют специально разработанные методы оценки погрешности для автоматического выбора изменяемого в процессе решения шага интегрирования с целью обеспечения заданной точности получаемого решения. Среди них отметим две:
[t,Y] = ode23(fun, tspan, y0) – решает задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием комбинации методов Рунге-Кутта относительно невысокого порядка (2-го и 3-го);
[t,Y] = ode45(fun, tspan, y0) - решает задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием комбинации методов Рунге-Кутта более высокого порядка (4-го и 5-го).
Входные аргументы указанных функций:
fun - функция для вычисления вектора правой части системы, интерфейс которой должен иметь вид:
F = fun(t, Y) ,
где t – независимый параметр системы, Y- вектор значений неизвестных функций, а выходной параметр F – вектор вычисленных компонент правой части;
tspan - вектор, определяющий интервал интегрирования системы. Если этот вектор состоит из двух компонент, то их значения задают начало и конец интервала. Если требуется, чтобы в качестве решения были выданы значения искомых функций в конкретно заданных точках интервала, то число компонент должно быть не менее трех (можно задавать в виде имени массива или при помощи конструктора массивов, например в виде [2:0.1:5]);
y0 - вектор начальных значений.
Выходные аргументы:
t - вектор, состоящий из значений независимой переменной, которым соответствуют вычисленные значения решения, помещенные в массив Y (если вектор tspan состоит лишь из двух компонент, то количество значений автоматически определяется функцией с целью наиболее точного отображения на графике);
Y - двумерный массив, каждый столбец которого представляет последовательность вычисленных значений одной из искомых функций.
Параметр fun , являющийся фактическим параметром, указывающим предварительно написанную функцию для вычисления правой части системы, задается в виде: