6. Расчет рамы испытывающей сложное сопротивление
Исходные данные в1=4м, в2=3м, в3=2м, р1=3кН, р2=4кН, р3=2кН, q1=3кН/м, q2=4 кН/м, М1=3кН*м, М2=4кН*м Цель работы: Определение опасного сечения пространственной конструкции и расчёт на прочность её элементов. Порядок выполнения: 1. Определение и построение эпюр нормальных и перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов в элементах стержневой конструкции. 2. Анализ напряженного состояния каждого элемента конструкции 3. Расчёт размеров поперечных сечений 4. Выбор наиболее экономичного профиля элементов конструкции
Решение:
Построение
эпюр 
рассмотрим
на конструкции. Система стержней,
соединенных, как показано на рис. 1, а,
нагружена силами 
.
Допускаемое напряжение на растяжении
– сжатии 
.
Первый стержень длиной 
м
имеет прямоугольное сечение с отношением
сторон 
,
второй 
и
третий 
–
круглое сечение.
Для
данной конструкции (составного ломаного
бруса) можно не определять реакции в
заделке, если все участки рассматривать
со стороны свободного конца
конструкции. Ординаты
эпюр откладывают от продольной оси
стержней, поэтому в масштабе надо
вычертить четыре контура ломаного
бруса, на которых в дальнейшем будут
построены эпюры.
Стержень I. Составим выражения для внутренних усилий в элементах бруса, пользуясь методом сечений. Возьмем сечение на расстоянии x1 от свободного конца стержня.
В
этом сечении будут действовать
силы:
Стержень
II
В этом сечении будут действовать
силы:
Стержень
III
В этом сечении будут действовать
силы:
Эпюры 
7. Расчет напряжений и определение размеров поперечных сечений стержней
На
основании построенных эпюр определяем
вид деформаций стержней.
Первый
стержень работает на косой изгиб, так
как изгибается в двух плоскостях
моментами 
.
Наибольшие нормальные напряжения
возникают в сечении с наибольшими
моментами 
.
Условие прочности следует написать для
точки, наиболее удаленной от нейтральной
оси, в которой напряжения от обоих
моментов будут одного знака.
Для
определения знаков напряжений рассмотрим
деформацию стержня. Так, под действием
момента 
верхние
волокна растягиваются, нижние сжимаются,
под действием момента 
растягиваются
правые, а сжимаются левые волокна.
Полученные знаки напряжений указаны
на рисунке.
Запишем
условие прочности для опасных точек 2
и 4: 
.
Для
нашего случая
По
условию 
,
тогда
Откуда
.
Вычислим
нормальные напряжения в точках:
,
откуда:
Построим
эпюры напряжений по контуру сечения.
Положительные напряжения откладываем
от контура влево. На нейтральной оси
нормальные напряжения равны нулю. По
эпюрам σ можно определить нулевые точки
на контуре сечения и через них провести
нейтральную ось.
Касательные
напряжения вычисляем по преобразованной
формуле Журавского для максимальных
напряжений в прямоугольном сечении
отдельно от 
:
;
Суммарное
касательное напряжение равно геометрической
сумме этих напряжений, а наибольшее
касательное напряжение будет в центре
стержня:
Условие
прочности выполняется.
Второй
стержень работает на изгиб в двух
плоскостях с кручением и растяжением.
Поперечное сечение стержня круглое,
поэтому изгиб будет плоским под действием
результирующего момента:
.
При
плоском изгибе нейтральная ось
перпендикулярна результирующему
моменту, поэтому её положение легко
определяется.
В
наиболее удаленных точках от нейтральной
оси будут наибольшие нормальные
напряжения изгиба 
.
Наибольшие касательные напряжения при
кручении 
будут
на окружности стержня. Кроме того, под
действием перерезывающей силы возникают
касательные напряжения 
,
достигающие максимума в центре
стержня.
Эпюры
распределения всех напряжений приведены
на рисунке. Напряжения от перерезывающей
и нормальной сил значительно меньше
напряжений от изгибающего и крутящего
моментов, поэтому опасными будут точки,
наиболее удаленные от нейтральной оси
точки А и Б. Здесь материал находится в
условиях плоского напряженного
состояния.
Условие
прочности по IV теории прочности имеет
вид:
при 
где
W – момент сопротивления относительно
оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При
подборе сечения напряжениями от
нормальной силы, ввиду их малой величины,
можно пренебречь, тогда предварительное
условие прочности примет
вид:
,
отсюда
Вычислим
нормальные и касательные
напряжения.
Наибольшее
нормальное напряжение от изгиба:
Наибольшее
касательное напряжение при
изгибе:
Наибольшее
касательное напряжение при кручении:
Для
окончательной проверки подставим
вычисленные напряжения в условие
прочности
условие
прочности выполнено.
Третий
стержень работает на изгиб в двух
плоскостях с кручением и растяжением.
Поперечное сечение стержня круглое,
поэтому изгиб будет плоским под действием
результирующего момента:
.
При
плоском изгибе нейтральная ось
перпендикулярна результирующему
моменту, поэтому её положение легко
определяется.
В
наиболее удаленных точках от нейтральной
оси будут наибольшие нормальные
напряжения изгиба 
.
Наибольшие касательные напряжения при
кручении 
будут
на окружности стержня. Кроме того, под
действием перерезывающей силы возникают
касательные напряжения 
,
достигающие максимума в центре стержня,
и от нормальной силы – равномерно
распределенные по сечению нормальные
напряжения 
.
Эпюры
распределения всех напряжений приведены
на рисунке. Напряжения от перерезывающей
и нормальной сил значительно меньше
напряжений от изгибающего и крутящего
моментов, поэтому опасными будут точки,
наиболее удаленные от нейтральной оси
точки А и Б. Здесь материал находится в
условиях плоского напряженного
состояния.
Условие
прочности по IV теории прочности имеет
вид:
где
W – момент сопротивления относительно
оси, Wp – полярный момент сопротивления.
При
подборе сечения напряжениями от
нормальной силы, ввиду их малой величины,
можно пренебречь, тогда предварительное
условие прочности примет вид:
,
отсюда
Вычислим
нормальные и касательные
напряжения.
Наибольшее
нормальное напряжение от изгиба: 
Наибольшее
касательное напряжение при изгибе:
Наибольшее
касательное напряжение при кручении:
Нормальное
напряжение от продольной силы:
Из
расчетов видно, что 
действительно
значительно меньше 
.
Строго говоря, нормальная сила смещает
нейтральную ось от центра тяжести
сечения. Определить новое положение
нейтральной оси можно графически по
суммарной эпюре нормальных напряжений
или вычислить аналитически.
Обозначим
смещение нейтральной оси с центра
тяжести через u. Нормальные напряжения
на нейтральной оси равны нулю. Тогда
уравнение примет вид:
отсюда
.
Для
окончательной проверки подставим
вычисленные напряжения в условие
прочности
условие
прочности выполнено.