8. Основы фильтрации в частотной области

Каждый элемент фурье-образа содержит все отсчеты функции . Поэтому обычно, за исключением тривиальных случаев, невозможно установить прямое соответствие между характерными деталями изображения и его фурье-образа. Однако некоторые общие утверждения относительно взаимосвязи частотных составляющих фурье-образа и пространственных характеристик изображения могут быть сделаны. Частоты в фурье-преобразовании связаны с вариацией яркости на изображении. Наиболее медленно меняющаяся (постоянная) частотная составляющая (u=v=0) совпадает со средней яркостью изображения. Низкие частоты, отвечающие точкам вблизи начала координат фурье-преобразования, соответствуют медленно меняющимся компонентам изображения. На изображении комнаты, например, они могут соответствовать плавным изменениям яркости стен и пола. По мере удаления от начала координат, более высокие частоты начинают соответствовать все более и более быстрым изменениям яркости, которые суть границы объектов (контуры) и другие детали изображения, характеризуемые резкими изменениями яркости, такие как шум.

Процедура фильтрации в частотной области состоит из следующих шагов (рис.22):

1. Исходное изображение умножается на , чтобы его преобразование Фурье оказалось центрированным.

2. Вычисляется прямое ДПФ изображения, полученного после шага 1.

3. Функция умножается на функцию фильтра .

4. Вычисляется обратное ДПФ от результата шага 3.

5. Выделяется вещественная часть результата шага 4.

6. Результат шага 5 умножается на .

Пусть обозначает входное изображение после шага 1, - его фурье-образ. Тогда фурье-образ выходного изображения определяется выражением:

.

Умножение функций двух переменных и осуществляется поэлементно, т.е. первый элемент функции умножается на первый элемент функции , второй элемент функции умножается на второй элемент функции и т.д. В общем случае компоненты фильтра являются комплексными величинами. На практике чаще всего используются с действительными компонентами. В этом случае и действительная и мнимая части функции умножаются на одну и ту же действительную функцию фильтра . Такие фильтры называются фильтрами нулевого фазового сдвига, поскольку не меняют фазу фурье-преобразования.

Фильтрованное изображение получается вычислением обратного преобразования Фурье от фурье-образа :

Фильтрованное изображение = F^-1 .

Искомое изображение получается выделением действительной части из последнего результата и умножения на , чтобы скомпенсировать эффект от умножения входного изображения на ту же величину. Обратное фурье-преобразование в общем случае является комплексным. Однако в случае вещественного входного изображения и вещественной функции фильтра мнимые части всех значений обратного фурье-преобразования должны равняться 0. Но на практике значения обратного фурье-преобразования, как правило, содержат паразитную мнимую составляющую, что связано с ошибками округлений при вычислениях. Этой составляющей необходимо пренебречь.

Рис.23. Основные этапы фильтрации в частотной области

Некоторые основные фильтры и их свойства. Низкие частоты фурье-преобразования отвечают за возникновение превалирующих значений яркости на гладких участках ЦИ, в то время как высокие частоты отвечают за такие детали, как контуры и шум.

Фильтр, который ослабляет высокие частоты, одновременно пропуская низкие, называется низкочастотным фильтром. Фильтр, обладающий противоположными свойствами, называется высокочастотным фильтром. После применения низкочастотной фильтрации, ЦИ, по сравнению с исходным, содержит меньше резких деталей, поскольку высокие частоты подавлены. После применения высокочастотной фильтрации, на изображении уменьшаются изменения яркости в пределах больших гладких областей и выделяются переходные зоны быстрого изменения яркости, т.е. контуры. Такое изображение выглядит более резким.

Рис.24 иллюстрирует влияние низкочастотной и высокочастотной фильтрации на изображение на рис.23.

Рис.24. Изображение поврежденной интегральной схемы, полученное при помощи сканирующего электронного микроскопа

Рис.25. Двумерная передаточная функция фильтра низких частот (а); результат низкочастотной фильтрации изображения рис.24 (б); двумерная передаточная функция фильтра высоких частот (в); результат высокочастотной фильтрации изображения рис.24 (г)

Сглаживающие частотные фильтры. Контуры и другие резкие перепады яркости на ЦИ (например, связанные с шумом) вносят значительный вклад в высокочастотную часть его фурье-преобразования. Следовательно, сглаживание («размывание») достигается в частотной области ослаблением высокочастотных компонент определенного диапазона фурье-образа данного изображения.

Базовая «модель» фильтрации в частотной области:

.

Цель – в выборе функции , которая ослабит высокочастотные компоненты и сформирует функцию .

Идеальные фильтры низких частот. Самый простой фильтр низких частот – это фильтр, который обрезает все высокочастотные составляющие фурье-образа, находящиеся на большем расстоянии от начала координат (центрированного) преобразования, чем некоторое заданное расстояние . Такой фильтр называется двумерным ( ) идеальным низкочастотным фильтром, для которого

Где - заданная неотрицательная величина, а обозначает расстояние от точки до начала координат. Все частоты внутри круга радиуса проходят без изменения, все частоты вне круга подавляются полностью (рис.25). - частота среза.

Рис.26. Изображение в перспективе графика передаточной функции идеального низкочастотного фильтра (а); представление фильтра в виде изображения (б); радиальный профиль фильтра (в)

Задание 12. Совместное использование процедур фильтрации с усилением высоких частот и эквализации гистограммы является эффективным методом повышения резкости и улучшения контраста. Влияет ли порядок процедур на окончательный результат? Если порядок процедур важен, то какую процедуру использовать первой? Ответ обосновать.