Лекція 25. Спрощення рівняння поверхонь другого порядку та їхня класифікація

План

1. Спрощення рівняння поверхні другого порядку за допомогою паралельного перенесення.

2. Спрощення рівняння поверхні другого порядку за допомогою повороту системи координат.

3. Класифікація поверхонь другого порядку.

1. Спрощення рівняння поверхні другого порядку за допомогою паралельного перенесення.

Дослідимо, як перетворюється рівняння поверхні другого порядку, заданої рівнянням

(1)

при паралельному перенесенні системи координат.

Нехай прямокутна декартова система координат одержана паралельним перенесенням системи у новий початок – точку .

Розглянемо довільну точку площини, яка у початковій системі має координати , а в іншій прямокутній системі – координати . У лекції 6 ми отримали рівності

, (2)

які визначають зв'язок між координатами точки у двох різних системах координат, одна із яких одержана паралельним перенесенням іншої.

Підставляючи одержані співвідношення у рівняння (1), отримуємо

,

або

. (3)

Аналізуючи рівняння (3), зробимо наступні висновки:

1) при паралельному перенесенні системи координат у новий початок коефіцієнти біля старших членів не змінюються;

2) вільний член у перетвореному рівнянні рівний ;

3) якщо поверхня, задана рівнянням (1), – центральна і точка є її центром, то у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля , та будуть рівні нулю.

Останнє твердження випливає з того, що для центра поверхні

,

,

.

Приклад 1. За допомогою паралельного перенесення спростити рівняння поверхні .

Розв’язання. Знайдемо центр поверхні. Для цього складаємо та розв’язуємо систему рівнянь

.

Тепер обчислюємо . Таким чином, після перенесення початку координат у точку рівняння поверхні спроститься і запишеться у вигляді .

2. Спрощення рівняння поверхні другого порядку за допомогою повороту системи координат.

Нехай поверхня другого порядку задана рівнянням

(1)

та її характеристичне рівняння

. (4)

має корені . Вважатимемо, що їм відповідають головні напрямки, визначені векторами , та . Ці вектори, які є власними векторами для лінійного перетворення, заданого симетричною матрицею

,

є ортогональними і утворюють базис тримірного векторного простору. Будемо вважати, що цей базис ортонормований, що завжди можна досягнути, розділивши кожний вектор на його довжину. Дослідимо, як перетвориться рівняння (1) при переході до цього базису. Ми стверджуємо, що у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля квадратів змінних є коренями характеристичного рівняння, а також те, що будуть відсутні доданки другого степеня із добутками . Для доведення цього факту вважатимемо, що група старших членів у перетвореному рівнянні має вигляд та розглянемо систему

, (5)

яка дозволяє знаходити власні вектори перетворення. Такими будуть вектори , та . У випадку із (5) дістаємо . Аналогічно для маємо , а для обчислюємо .

Таким чином, при переході до базису , , група старших членів рівняння (1) набуває вигляду .

Зауважимо також той, майже очевидний факт, що при повороті системи координат, коли нові осі набувають напрямів векторів , та , вільний член у рівняння поверхні (1) не змінюється.

Приклад 2. Звести до канонічного виду рівняння поверхні

.

Розв’язання. Складаємо та розв’язуємо характеристичне рівняння.

.

Після повороту системи координат, коли нові осі набувають головних напрямків, рівняння поверхні запишеться у вигляді

.

Очевидно, що поверхня являє собою двопорожнинний гіперболоїд.

Приклад 3. Спростити рівняння поверхні

та записати формули перетворень, за допомогою яких можна виконати ці спрощення.

Розв’язання. У прикладі 1 ми встановили, що після паралельного перенесення, яке переводить початок координат у точку рівняння поверхні спроститься і запишеться у вигляді

. (6)

Характеристичне рівняння буде таким же, як у прикладі 2. За допомогою його коренів рівняння (6) запишеться у вигляді

.

Таким чином, ми отримали канонічне рівняння поверхні, яка являє собою двопорожнинний гіперболоїд.

Очевидно, що паралельне перенесення – перетворення, яке ми виконали спочатку, задається співвідношеннями .

Для визначення формул повороту спочатку знайдемо одиничні вектори , та , які задають головні напрямки. Із системи при послідовно знаходимо:

,

,

.

Запишемо матрицю переходу від базису до базису , , :

.

Тоді формули повороту задаються співвідношенням

.

Об’єднавши їх з формулами паралельного перенесення, остаточно отримуємо

.

Одержані співвідношення є формулами перетворень, за допомогою яких можна виконати спрощення початкового рівняння поверхні.