4. Конус асимптотичних напрямків. Асимптотичний конус.

Знову розглядаємо поверхню другого порядку, задану рівнянням (1). Візьмемо довільну точку і проведемо через неї різні прямі, що паралельні до вектора (напрям цього вектора поки що довільний). Рівняння одержаного пучка прямих можна записати у вигляді

, (8)

де – довільний параметр. Як нам відомо, деякі з цих прямих матимуть відносно поверхні асимптотичний напрям, якщо у рівнянні , яке характеризує перетин прямої з поверхнею , виконується умова , тобто якщо

. (9)

У цьому випадку, як було зазначено вище, кажуть, що вектор має відносно заданої поверхні асимптотичний напрям. Виключимо із системи рівностей змінні параметри . Для цього підставимо в (9) співвідношення

,

отримані з (8). Після спрощення одержимо рівняння

. (10)

Проаналізуємо отримане співвідношення. Воно є однорідним многочленом другого степеня відносно різниць і визначає в просторі конус з вершиною у точці . Даний конус називають конусом асимптотичних напрямків. Якщо точка при цьому розташована у центрі поверхні, то конус називають асимптотичним. Зображення асимптотичного конуса для двопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 3.

Приклад 3. Скласти рівняння асимптотичного конуса для двопорожнинного гіперболоїда .

Розв’язання. Використовуючи рівняння (10), отримуємо

Відповідь. .

5. Головні напрямки та головні діаметри поверхні. Характеристичне рівняння.

Означення. Напрям вектора називається головним відносно поверхні другого порядку , якщо він перпендикулярний до спряженої до нього діаметральної площини.

Дослідимо, як можна знаходити такі напрямки. Отже, будемо шукати невідомі координати вектора , який має головний напрям. Вважатимемо, що спряжена до нього площина має рівняння

.

Тут

, –

координати перпендикулярного до площини вектора . Оскільки вектори та , будучи перпендикулярними до одної і тої ж площини, колінеарні, то виконується рівність . Тому

. (11)

Однорідну систему (11) запишемо у вигляді

. (12)

Як відомо, така система має ненульові розв’язки, якщо її визначник дорівнює 0. Таким чином, координати вектора можна знайти із системи (12), якщо параметр вибрати, як розв’язок рівняння

. (13)

Рівняння (14) називають характеристичним рівнянням поверхні другого порядку .

Проаналізуємо отримане рівняння. По-перше, воно кубічне, тому завжди має хоч один дійсний корінь. По-друге, матриця, що відповідає визначнику , симетрична, тому, як відомо з курсу алгебри, і два інші корені рівняння теж дійсні. Розв’язавши рівняння (13) та підставивши знайдені корені у систему (12), отримаємо три лінійні однорідні системи. Їх ненульові розв’язки дадуть можливість отримати три головні напрямки поверхні.

Головні напрямки, що відповідають різним кореням, знову ж таки, як відомо з курсу лінійної алгебри, взаємно перпендикулярні.

У випадку центральної поверхні прямі, що проходять через центр і мають головні напрямки, є осями симетрії поверхні, а площини, що містять довільні дві з цих прямих, є площинами симетрії.

Випадок, коли один з коренів характеристичного рівняння дорівнює 0, дозволяє знайти вектор, який відносно поверхні має асимптотичний напрям. Справді, тоді

,

оскільки при із (11) маємо, що .

Приклад 4. Знайти головні напрямки поверхні

.

Розв’язання. Знайдемо корені характеристичного рівняння. Маємо

, , .

При система (12) запишеться у вигляді і один з її ненульових розв’язків буде .

При система (12) набуде виду , а одним із її ненульових розв’язків буде .

При отримуємо систему . Один з її ненульових розв’язків – це .

Відповідь. .