Лекція 23. Загальне рівняння поверхні другого порядку

План

1. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

2. Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки.

3. Центр поверхні.

4. Рівняння дотичної площини та нормалі.

1. Поняття загального рівняння поверхні другого порядку.

Розглянемо поверхню другого порядку , задану рівнянням

, (1)

де – деякі дійсні числові коефіцієнти, причому коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Доданки називають групою старших членів, або квадратичною формою, вираз – лінійною частиною, число – вільним членом рівняння.

Рівняння (1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку, оскільки з нього можна отримати будь-яке конкретне рівняння поверхні другого порядку. З поверхнями, рівняння яких є частинними випадками рівняння (1), ми уже зустрічалися в попередніх лекціях. Такими є сфера із центром у точці та радіусом , еліпсоїд , одно- та двопорожнинні гіперболоїди , еліптичний та гіперболічний параболоїди та інші. Природно виникає питання, чи всі можливі поверхні другого порядку ми розглянули? Приклад поверхні, яка задається рівнянням , показує, що ні. Справді, записавши дане рівняння у вигляді , бачимо, що його не задовольняють координати жодної точки. Можна навести і інші приклади рівнянь поверхонь, зокрема таких, які ми ще не розглядали.

Оскільки рівняння (1) містить 10 коефіцієнтів, які визначаються з точністю до сталого множника, то поверхня другого порядку можна задавати не більше, ніж 9-ма точками. У деяких випадках їх кількість може бути меншою. Наприклад, сферу можна задати 4-ма точками, які їй належать. Меншою кількістю точок визначаються параболоїди, циліндри, конуси.

Введемо в розгляд символи та , означивши їх рівностями

,

,

,

а також

,

,

.

Вираз є половиною похідної від функції по змінній , якщо змінні та при цьому вважати сталими. Аналогічно, та – це половини похідних від функції по змінних та відповідно при умові, що дві інші змінні вважаються сталими. Вирази , є значеннями функцій та , обчисленими у точці .

Найближчими нашими задачами буде дослідження властивостей поверхонь, заданих загальним рівнянням, вивчення особливостей їх розташування відносно системи координат, а також дослідження питання, скільки та які різні види поверхонь може визначати рівняння (1).

2. Перетин поверхні з прямою. Частинні випадки.

Перетнемо поверхню другого порядку прямою , яка проходить через деяку точку паралельно до вектора . Запишемо параметричні рівняння прямої

(2)

та знайдемо точки перетину поверхні і прямої . Дістаємо систему рівнянь (1), (2), розв’язуючи яку відносно змінної , отримуємо квадратне рівняння

, (3)

де

,

,

Д ослідимо особливості взаємного розташування поверхні та прямої у випадках, коли деякі з коефіцієнтів рівняння (3) перетворюються в нуль.

1). Нехай . Одному із коренів рівняння , який рівний нулю, відповідає точка . Тому у цьому випадку одна із точок перетину поверхні та прямої співпадає з точкою (рис. 1).

2). Нехай та рівняння має два дійсні корені . Цим кореням відповідають дві точки, які належать заданій поверхні та прямій – це точки . У цьому випадку точка є серединою хорди (рис. 2). Якщо дане рівняння має два уявні корені, то пряма буде перетинати поверхню у двох уявних точках, а точка буде серединою уявної хорди.

3 ). Нехай . Рівняння має єдиний корінь , який визначає першу із точок перетину. Щоб зрозуміти особливість розташування другої точки перетину доцільно дослідити, як змінюється другий корінь рівняння (3) при . У лекції 18, де досліджувались аналогічні питання взаємного розташування лінії другого порядку та прямої, було показано, що при абсолютна величина другого кореня прямує до . Згідно із рівностями (2) при друга із точок перетину нескінченно віддаляється від точки . Таку точку ми, аналогічно до попереднього, будемо позначати символом та говорити, що пряма перетинає поверхню у нескінченно віддаленій точці. Напрям прямої при цьому будемо називати асимптотичним. Асимптотичним буде, наприклад, напрям прямої, яка перетинає еліптичний параболоїд та проведена паралельно до його осі симетрії (рис. ), або прямої, що проведена паралельно до твірної конуса (рис. ).

4). Випадок є поєднанням розглянутих вище випадків 1), 2). Рівняння (3) матиме вид та корені . При цьому пряма буде дотикатись до поверхні у точці (рис. 4).

5). При точка належить поверхні , а пряма матиме відносно асимптотичний напрям.

6). Якщо , то рівняння (3) не має розв’язків. У цьому випадку пряма не має з поверхнею спільних точок та має відносно асимптотичний напрям. Прикладом такого випадку може бути пряма, що паралельна до твірної циліндра або конуса, але не має з цими поверхнями спільних точок.

7). Якщо , то розв’язком рівняння (3) буде довільне дійсне число . Тоді кожна точка прямої належить поверхні . Ми зустрічалися із таким випадком, коли говорили про прямолінійні твірні поверхонь другого порядку, всі точки яких належать поверхні.