3. Означення гіперболи та її канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів.

Нехай на площині задані точки та та . Знайдемо геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до точок та є сталою величиною, що дорівнює заданому числу 2а.

Будемо вважати, що . Якщо , то шукане геометричне місце точок утворювало б два промені, які доповнюють відрізок F₁F₂ до прямої. Якщо , то шукана множина точок буде порожньою, що випливає з нерівності трикутника. Очевидно також, що a>0. При а=0 ми розглядали б точки, рівновіддалені від точок F₁ та F₂, тобто серединний перпендикуляр до відрізка F₁F₂.

Означення 2. Множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою. Величиною, меншою від довжини відрізка , називається гіперболою.

Точки F₁ та F₂ називаються фокусами гіперболи. Для виведення рівняння гіперболи виберемо прямокутну декартову систему координат так, як показано на рисунку 1, та припустимо, що – одна із точок шуканої множини. Згідно з означенням

. (7)

Оскільки та , то з рівності (7) дістаємо

= , (8)

звідки, звільнившись від радикала в лівій частині та звівши подібні доданки, одержуємо

(9)

Підносячи ще раз обидві частини рівності до квадрату, після очевидних спрощень дістанемо

. (10)

Оскільки , то , тому, ввівши позначення , із останньої рівності отримуємо

(11)

Покажемо, що кожен розв’язок одержаного рівняння задає точку на гіперболі, тобто, що для кожного розв’язку рівняння (11) виконується умова (7). Справді, із (11) дістаємо , тому

Із рівняння (11) випливає, що . Оскільки , то для додатних х маємо , тому

, .

Для дістаємо , тому

, .

В обох випадках виконується рівність (7), тому рівняння (11) є рівнянням гіперболи. Його називають канонічним рівнянням гіперболи. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М.

4. Означення параболи та її канонічне рівняння.

Розглянемо на площині деяку пряму d та точку F, розташовану на деякій відстані p від даної прямої. Знайдемо геометричне місце точок площини, відстані від кожної із яких до даної прямої d та точки F рівні.

Означення 3. Множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної прямої d та даної точки F, називається параболою.

Точку F називають фокусом параболи, а пряму d – директрисою.

Д ля виведення рівняння параболи введемо прямокутну декартову систему координат, провівши вісь Ох через точку F перпендикулярно до прямої d та вибравши за початок координат середину відрізка, який сполучає точку F із прямою d (рис. 2). Тоді координати фокуса будуть , а рівняння прямої d запишеться у вигляді .

Нехай точка – одна із точок параболи. Оскільки відстань від точки М до прямої d буде

і

та, згідно з означенням параболи, , то

= .

Піднісши до квадрату обидві частини рівності та спростивши вираз, дістаємо

. (12)

Таким чином показано, що координати кожної точки параболи задовольняють рівняння (12).

З рівності

.

випливає, що кожен розв’язок (x;y) рівняння (12) задає точку на параболі. Отже, рівняння (12) є рівнянням параболи.

Як і у випадках еліпса та гіперболи відрізок MF називають фокальним радіусом точки М. Число p називають фокальним параметром параболи, а рівняння (12) – її канонічним рівнянням. Очевидно, що парабола – лінія другого порядку.