Лекція 12. Канонічні рівняння еліпса, гіперболи та параболи

План

1. Поняття загального рівняння другого порядку.

2. Означення еліпса. Канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів.

3. Означення гіперболи та її канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів.

4. Означення параболи та її канонічне рівняння.

5. Приклади.

1. Поняття загального рівняння другого порядку.

Розглянувши геометричні образи рівнянь першого степеня на площині та в просторі (пряма та площина), зупинимось на дослідженні рівнянь другого порядку.

Загальне рівняння другого порядку відносно змінних та можна записати у вигляді

, (1)

де хоча б один із коефіцієнтів a, b та c відмінний від нуля. З окремими випадками таких рівнянь ми уже зустрічалися, розглядаючи рівняння (коло з центром у точці , радіус якого дорівнює ), (парабола, вісь якої паралельна до осі ), (або , рівностороння гіпербола, дві вітки якої розташовані в першій та третій або другій та четвертій координатних четвертях у залежності від знаку параметра ). Проте наведені приклади не вичерпують усі можливі випадки ліній, які задаються рівнянням (1). Наприклад, рівняння визначає дві прямі, які перетинаються. У цьому легко переконатися, перетворивши рівняння до виду . Рівняння має єдиний розв’язок , що стає очевидним, якщо його записати у вигляді . Рівняння або взагалі не задовольняє жодна пара дійсних чисел.

Скільки та які типи ліній визначає рівняння (1), ми дослідимо дещо пізніше, а поки що розглянемо деякі лінії, рівняння яких можна отримати, як частинні випадки рівняння (1).

2. Означення еліпса. Канонічне рівняння. Вирази для фокальних радіусів.

Розглянемо на площині дві точки та , відстань між якими позначимо 2с та поставимо задачу відшукання геометричного місця всіх точок, сума відстаней від кожної з яких до точок та є сталою, яка дорівнює деякому числу 2а. Будемо вважати, що , оскільки при шукана множина точок буде порожньою, а при утворить відрізок .

Означення 1. Множина всіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок та є сталою величиною, що більша від довжини відрізка , називається еліпсом.

Точки та називаються фокусам и еліпса. Щоб скласти рівняння еліпса, введемо прямокутну декартову систему координат , вибравши за точку середину відрізка та спрямувавши вісь вздовж прямої (рис.1). Фокуси еліпса відносно введеної системи координат матимуть координати F₁(c;0), F₂(-c;0). Нехай M(x;y) – одна із точок шуканого геометричного місця . Тоді, згідно з означенням еліпса,

. (2)

Скориставшись формулою відстані між двома точками, дістаємо

Для спрощення одержаного співвідношення, запишемо його у вигляді

,

звідки

,

або

(3)

Підносячи до квадрату обидві частини одержаної рівності, отримуємо

(4)

або

. (5)

Оскільки a>c, то вираз додатний. Тому, ввівши заміну = та розділивши рівність (5) на , дістаємо

(6)

Отже, координати кожної точки на еліпсі задовольняють рівняння (6). Покажемо, що кожен розв’язок рівняння (6) задає точку на еліпсі. Нехай – розв’язок рівняння (6) та М(x; y) – відповідна точка. Тоді пара чисел (x;y) задовольняє рівняння (5) та (4). Запишемо рівняння (4) у вигляді , звідки випливає, що

.

Очевидно, що для розв’язків рівняння (6) повинна виконуватись умова (якщо , то і рівність (6) неможлива). Оскільки , то , тому вираз – додатний. Таким чином,

. (7)

Міркуючи аналогічно, дістаємо

. (8)

Тому , тобто точка М належить еліпсу. Таким чином, доведено, що рівняння (6) є рівнянням еліпса. Його називають канонічним рівнянням еліпса.

Рівняння є рівнянням другого степеня, тому еліпс – це лінія другого порядку. Відрізки та називають фокальними радіусами точки М. Співвідношення (7), (8) дозволяють обчислювати довжини фокальних радіусів, знаючи тільки абсцису точки, яка належить еліпсу.