3. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими.

Нехай дві мимобіжні прямі задані своїми канонічними рівняннями

: .

Поставимо задачу відшукання рівняння спільного перпендикуляра до цих прямих, тобто рівняння прямої, яка перетинає задані прямі та перпендикулярна до них. Водночас виведемо співвідношення для відшукання відстані між цими прямими. Існування та єдиність спільного перпендикуляра обґрунтовується в шкільному курсі геометрії.

Для побудови спільного перпендикуляра до прямих та через пряму проведемо площину , яка паралельна до прямої . Для цього використаємо точку та вектори , які паралельні до . Аналітично рівняння площини запишеться у вигляді

.

Нехай після необхідних обчислень одержана рівність запишеться у вигляді . Позначимо через вектор, який перпендикулярний до площини . Після цього проведемо дві площини та , кожна з яких перпендикулярна до площини та проходить через прямі та відповідно. При цьому площина визначається точкою та паралельними до неї векторами та , а площина – точкою та паралельними до неї векторами та .

Рівняння площин та можна записати у вигляді рівностей

, .

Пряма , по якій перетинаються площини та , буде шуканим спільним перпендикуляром до прямих та (рис. 4). Рівняння спільного перпендикуляра до прямих та можна записати у вигляді системи рівнянь, що задають площини та .

В ідстань між прямими та можна знайти, як відстань від точки до площини , тобто

.

4. Задачі.

Задача 1. Знайти точку, симетричну до точки відносно площини , заданої рівнянням .

Розв’язання. Складемо параметричні рівняння прямої , яка перпендикулярна до площини Для цього використаємо точку та вектор , який, будучи перпендикулярним до площини , буде паралельним до прямої (рис. 5). Дістаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь

,

знаходимо , Знайдена точка є точкою перетину прямої із заданою площиною. Нехай – точка, симетрична точці відносно площини . Тоді точка буде серединою відрізка . Із рівностей

дістаємо .

Відповідь. .

Задача 2. На якій відстані від початку координат проходить пряма :

?

Розв’язання. Проведемо через точку площину перпендикулярно до заданої прямої та знайдемо точку перетину прямої із . Очевидно, що вектор , який паралельний до прямої , буде перпендикулярним до , тому рівняння запишеться у вигляді Тепер запишемо параметричні рівняння та розв’яжемо систему рівнянь

Дістаємо . Отже, . Довжина відрізка є шуканою відстанню.

Відповідь. .

Задача 3. Знайти відстань між діагоналлю куба та мимобіжною діагоналлю однієї із його граней, якщо ребро куба дорівнює 1. Встановити, які саме точки діагоналей знаходяться на цій відстані.

Розв’язання. Нехай – заданий куб. Знайдемо відстань між мимобіжними прямими та . Для цього введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, вибравши за початок координат точку та спрямувавши осі та відповідно у напрямку ребер та (рис. 6). Знаходимо координати необхідних точок: та векторів: . Через діагональ проведемо площину , яка паралельна до прямої . Її рівняння запишеться у вигляді

або . Знаходимо відстань від точки до площини : . Це і є шукана відстань. Щоб дати відповідь на питання, які з точок діагоналей знаходяться на знайденій відстані, складемо рівняння спільного перпендикуляра до прямих та . Для цього складемо рівняння площин та , кожна з яких перпендикулярна до площини та проходить через прямі та відповідно. Дістаємо

: , : ,

звідки

, .

Таким чином, рівняння спільного перпендикуляра до прямих та запишеться у вигляді системи

.

Для всіх точок прямої , тому вона перетинає спільний перпендикуляр у точці .

Для кожної точки діагоналі виконується рівність . При цій умові спільному перпендикуляру належить точка . Легко перевірити, що точки та розташовані на відстані .