Лекція 11. Взаємне розташування прямої та площини. Дві прямі в просторі

План

1. Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною.

2. Взаємне розташування двох прямих в просторі.

3. Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими.

4. Задачі.

1. Пряма і площина в просторі. Кут між прямою та площиною.

Дослідимо, як розташовані в просторі пряма та площина , знаючи рівняння цих фігур:

: , : ^.

Пряма буде паралельною до площини , якщо вектор , який паралельний до прямої, буде одночасно паралельним до площини. Використовуючи умову паралельності вектора до площини, дістаємо

. (1)

Одержана рівність є необхідною і достатньою умовою паралельності прямої та площини. Якщо, крім умови (1), точка прямої належить також площині , тобто виконується рівність , то пряма належить площині . Якщо умова (1) не виконується, то пряма та площина перетинаються. При необхідності їх точку перетину можна знайти, розв’язавши відповідну систему рівнянь.

Нехай система координат прямокутника декартова та пряма перетинає площину. Якщо при цьому вектор , який паралельний до прямої , та вектор що перпендикулярний до площини , будуть колінеарними, тобто, якщо виконуються рівності

,

то пряма буде перпендикулярною до площини. У цьому випадку кут, який вона утворює з площиною, дорівнює (рис. 1).

Нехай пряма не перпендикулярна до площини . Знайдемо кут між прямою та площиною, тобто гострий кут між прямою та її ортогональною проекцією на площину – прямою (на рис. 2 – це кут між прямими та ). Щоб визначити даний кут скористаємося векторами та . Позначивши кут між ними через , дістаємо

.

Оскільки у випадку, коли кут – гострий та , якщо кут тупий, то в обох випадках дістаємо

звідки

.

2. Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Як відомо, дві прямі в просторі можуть бути паралельними (зокрема співпадати), перетинатися або бути мимобіжними. Встановимо, як розпізнавати ці випадки, якщо кожна з прямих задана точкою що належить прямій, та напрямним вектором .

О чевидно, що випадок, коли обидві прямі лежать в одній площині (тобто паралельні або перетинаються), чи мимобіжні, залежить від того компланарні, чи ні вектори та (рис. 3). Нагадаємо, що необхідною та достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їхнього мішаного добутку. Тому розглянемо число

.

Якщо , то вектори , та компланарні, тому прямі та лежать в одній площині. Якщо при цьому вектори та колінеарні, тобто виконуються умови

, (2)

то .

Якщо , а умова (2) не виконується, то прямі та перетинаються. Прямі та можуть співпадати, якщо крім умови (2) виконується також рівність

яка означає, що точка на другій прямій одночасно належить також і першій прямій.

Якщо , то вектори , та не компланарні, і прямі та мимобіжні.

Кутом між двома мимобіжними прямими в просторі називають кут між двома прямими, що проходять через деяку спільну точку і паралельні до заданих прямих. У випадку аналітичного задання мимобіжних прямих та кут між ними шукають як кут між їхніми напрямними векторами та

.